吕 娜,纪 红
(1. 长春电子科技学院光电科学学院,吉林 长春 130012;2. 北华大学计算机科学技术学院,吉林 吉林 132000)
目前计算机软硬件的发展速度较快,图形处理能力迅速提升,在此背景下,人们对可视化软件仿真效果的需求逐渐增多,且要求也越发严格[1]。基于工程技术领域,可视化技术能够完成虚拟样机、飞行、测试等工作,可视化软件仿真技术可保证工程设计人员能够及时识别设计中存在的异常问题[2]。可视化软件仿真技术的应用目的是:为用户提供多视点、多样化分析仿真过程的人机交互界面,使界面的操作效果更直观[3-5]。
偏微分方程是目前科学研究领域、工程技术研究领域常用的数学工具。比如固体稳恒、非稳恒的热传导问题处理、可渗透介质中流动与扩散等问题在求解时,经常使用椭圆型方程、抛物型方程。声波、电磁波等传播问题分析也经常使用双曲型方程[6]。偏微分方程的数值求解属于数值分析的核心环节,偏微分方程数值求解问题在科学研究领域占据不可撼动的地位。本文将四阶偏微分方程数值解法应用于可视化软件仿真研究中,主要使用MATLAB编程求解四阶偏微分方程,获取仿真目标可视化三维图形绘制的属性值,绘制仿真目标的可视化三维图形,完成仿真目标在可视化软件的仿真研究。
2.1 四阶偏微分方程设计
设置仿真目标在可视化软件中绘制可视化仿真图像时,其属性精确值求解的一类非线性四阶偏微分方程是
(ku+λu3)xx+μutt+cuxuxx+uxtt=
fuuxxx+guuxxxxhuxuxxxx
(1)
式中,k、λ、μ、c、f、g、h属于固定不变的数值。
设置u(x,t)=φ(x,t)+R,将其导进式(1)后存在
(2)
将上式约简,则
(3)
此时将式(3)转换成:
-kΦxx+2λφxΦx+2λφΦxx-Φtt+kΦxx+λφxxxxΦ=0
(4)
2.2 四阶偏微分方程求解过程设计
对式(1)求解时,主要从2个角度分析:
1)角度1
如果λ≠0,则方程Φ=0,则φ-φx=0。此时属性精确值的解组设计为:φ(x,t)=A(t)ex,其中,A(t)属于随机函数。
2)角度2
如果λ=0,k≠0,那么上式转换成
-kΦxx-Φtt+kΦxxx=0
(5)
此时介绍三种属性精确值的求解过程:
如果Φ=φ-φx,φ-φx=cx+dt,则属性精确值的基本解组是φ(x,t)=A(t)ex+cx+dt,其中,c、d属于固定不变的数值。
如果Φ=φ-φx,φ-φx=x2-kt2,则属性精确值的基本解组是φ(x,t)=A(t)ex+x2-kt2。
如果Φ=φ-φx,Φ=φ-φx=x3-3k(x-1)t2,则属性精确值的基本解组是φ(x,t)=A(t)ex+x2-3k(x-1)t2。
目前初等函数学习过程中,需要先绘制函数图形,通过图形可以实现函数的直观性。但针对偏微分方程来讲,此类方程的图形绘制存在一定难度,特别是不存在解析解的偏微分方程,图形绘制的难度更加显著[7]。偏微分方程属于数学物理方程的核心方程。因此,本文使用MATLAB数值解法求解2.1小节所建立仿真目标属性求解的四阶偏微分方程后,结合获取的属性精确信息数值制作为三维可视化仿真图像。
3.1 MATLAB数值解法的三维图形制作
MATLAB具有工程与科学数据可视化仿真需要应用的所有图形工具与功能,其核心功能分别是三维绘图函数设计、交互图形设计。此类设计功能使用后,便可输出各种图形格式。除此之外,MATLAB还具有用于可视化仿真的函数,此类函数类型主要微分三维标量、三维绘图函数等[8-10]。MATLAB的微分方程工具箱针对平时常用的偏微分方程都具有较好的求解能力,属于实用性显著的数值运算工具[11]。特别是边界条件难度不大的前提下,用户即使不会编程技术,也可以在图形窗口,获取方程的数值解完成可视化仿真设计[12]。
3.2 偏微分方程的边界条件设计
使用MATLAB求解偏微分方程时,需要设计属性精确值求解的边界条件:
1)边界条件1-Dirichlet 边界条件
hu=r
(6)
2)边界条件2-Generalized Neumann 边界条件
n·(c∇u)+qu=g
(7)
式中,边界外法向单位向量是n;边界中仿真目标属性精确值的复函数是q、r。针对仿真目标属性值求解问题来讲,g的数值是0。针对非线性问题来讲,g、q、h与u存在紧密联系。针对抛物型方程与双曲类方程来讲,g、q、h、r与时间存在紧密联系。
3.3 可视化软件仿真程序流程设计
偏微分方程工具箱具备操作界面,且此界面简单易懂,使用此工具箱的指令便可实现任务的灵活、快速处理。例如快速绘制复杂的几何图形,设置不标准的边界条件等[13]。差异的指令需要使用差异的数据,所以想要准确使用指令便需要分析数据结构与指令之间的关联性。
图1是求解四阶偏微分方程的流程图。如图1所示,指令都以矩形框显示,矩阵、M文件都以圆形框显示。
图1 四阶偏微分方程求解流程图
在求解过程中,仿真目标的四阶偏微分方程的矩阵、公式、空间矩阵都可以用几何区域模式显示,几何区域模式的应用指令是Decsg,而属性精确值求解过程中需要分解几何区域时,分解的几何区域结构主要分为几何矩阵、几何M文件,此操作也应用指令Decsg完成,并在图形用户界面反馈给用户[14]。
MATLAB在设计式(6)条件与式(7)条件时,需要使用矩阵模式、M文件模式描述相关变量,矩阵在图形用户界面输出,M文件需要使用指令Wbound设计。
MATLAB在求解仿真目标的四阶偏微分方程时,使用系数矩阵或者系数M文件代表各个方程的k、λ、μ、c、f、g、h。
3.4 可视化图像绘制
运用MATLAB求解式(1)时,仿真目标的全部信息都会变换成网格数据分布在自己所属的网格区间内,将网格区间划分为多个子区域,这一操作需要使用指令Initmesh完成,然后使用指令Refinemesh将仿真目标网格数据进行精细化处理。
运用MATLAB求解四阶偏微分方程时,求解结果为解矢量,其为各个独立变量在网格节点中的数值。解矢量可通过指令Assempde完成提取。主要结合网格、边界条件与方程系数求解四阶偏微分方程,因为解矢量与对应的数据网络存在紧密联系,二者缺一不可。
结合四阶偏微分方程数值解的获取,仿真目标可视化图像绘制步骤如下:
1)建立参数域
构建仿真目标的三维图形参数域,所输入的已知参数属于仿真目标的散乱数据点,此类数据点不存在规律性,把它投影在二维平面中,结合坐标值设置四阶偏微分方程的参数域,并对其实施网格分解。
2)设计初始曲面
初始曲面属于一种拓扑结构,图形凹凸且光滑性较差。设计参数域之后,各个网格点仅存在横、纵坐标,但不具有属性值l。求解过程中都是根据目前时间段的属性估计后续时刻属性,所以必须设置各个网格点的初始值,因为网格点的属性值需要在初始值的基础上执行加权平均操作才可获取,所以将已知点设成控制点,属性固定化,剩下网格点的属性值需要结合控制点的具体情况设置。为了优化操作效率,需要保证网格点初始值更为精确化。本文使用Voronoi图区域赋值法,将各个控制点Voronoi图内部的网格点设成此控制点的值。求解四阶偏微分方程时,网格点的属性值存在不可变动特征[15-17]。
3)属性值求解
设计初始曲面之后,求解四阶偏微分方程的稳定解,求解时,若初始曲面某个网格属于已知点,代表控制点,此网格点的属性便无须求解,控制点的属性固定,不会出现变动,此模式条件下设计的曲面主要插值在控制点。如果目前时刻求解结果和后续时刻求解结果的最大误差较小,便表示求解的属性值属于稳定解,利用此属性解,使用指令 Pdeintrp 和 Pdeprtni 完成函数变换,通过Plot指令在初始曲面基础之上绘制三维可视化图像,从而实现仿真目标的可视化图像绘制[18,19]。
为了测试本文方法的仿真效果,使用Visual J++6.0工具,通过MATLAB编程设定实验测试环境。本文方法使用MATLAB数值解法求解某仿真目标的四阶偏微分方程时,若φ(x,t)=A(t)ex+x2-3k(x-1)t2为仿真目标四阶偏微分方程的属性解,A(t)=sin(t)+cos(t),x=-2,t=[-10,10]时,函数A(t)的波形图如图2所示。
图2 四阶偏微分方程的数值解波形图
如图2所示,x=-2,t=[-10,10]时,此条件下A(t)函数的波动不稳定,x=[-1,1],t=50时,A(t)函数的波动稳定,为此,在后续实验中,设置条件,x=[-1,1],t=50。
设置边界条件1中hu的值依次是为0.55、1.05,则求解仿真目标四阶偏微分方程时,数值拟合与绝对误差的结果如图3、图4所示。
图3 数值拟合效果
图4 绝对误差
如图3、图4所示,若φ(x,t)=A(t)ex+x2-3k(x-1)t2为仿真目标四阶偏微分方程的属性解,边界条件1中hu的值是0.55时,四阶偏微分方程数值解高度拟合,数值解绝对误差极小,由此验证,本文方法在求解仿真目标四阶偏微分方程数值解时,hu=0.55,此时具有求解数值精准度高的优势。
本文方法应用后,仿真目标属性信息求解的可视化软件仿真界面如图5所示。
图5 本文方法应用下可视化软件仿真界面
如图5所示,用户点击绘图后便可得到三维图像结果如图中左下方三维函数图所示。使用此函数表达的属性信息进行三维图像重构,其中网格点信息如图6所示,可视化仿真效果图如图7所示。
图6 仿真目标网格化示意图
图7 可视化仿真效果图
如图6、图7所示,本文方法能够使用四阶偏微分方程数值求解的模式,提取仿真目标的网格点属性值,实现仿真目标的可视化图像绘制,绘制后的可视化仿真图像画面光滑,原因是本文方法能够结合仿真目标的参数域设计匹配的非线性四阶偏微分方程,准确提取仿真目标的属性精确信息,从而优化仿真目标可视化图像绘制效果。
求解偏微分方程是目前科学与工程计算的重要环节,很多大型计算任务都必须使用偏微分方程数值解的形式分析问题。MATLAB是一种集技术研发、数据可视化等技术于一身的编程技术,所以本文提出基于四阶偏微分方程数值解法的可视化软件仿真方法,构建仿真目标的四阶偏微分方程之后,使用基于MATLAB数值解法的偏微分方程求解与可视化仿真显示方法,完成仿真目标属性数据提取,从而制作为仿真目标的三维图像,完成可视化仿真。在实验中,本文方法被证实具有可用性,但数学分析技术都需要分析大量数据,操作过程难免烦琐,在日后的研究工作中,会引入机器学习类技术优化其应用效率。
猜你喜欢 四阶边界条件绘制 四阶p-广义Benney-Luke方程的初值问题数学物理学报(2022年6期)2022-12-15一类带有Stieltjes积分边界条件的分数阶微分方程边值问题正解应用数学(2020年4期)2020-12-28带有积分边界条件的奇异摄动边值问题的渐近解数学物理学报(2020年5期)2020-11-26超萌小鹿课程表童话世界(2019年17期)2019-07-04放学后童话世界(2018年17期)2018-07-30带参数的四阶边值问题正解的存在性四川师范大学学报（自然科学版）(2015年3期)2015-02-28带Robin边界条件的2维随机Ginzburg-Landau方程的吸引子四川师范大学学报（自然科学版）(2015年1期)2015-02-28在转变中绘制新蓝图中国卫生(2014年9期)2014-11-12四阶累积量谱线增强方法的改进仿真研究电子设计工程(2014年18期)2014-02-27基于四阶累积量和简化粒子群的盲分离算法电子设计工程(2014年18期)2014-02-27