夏 鸣
(常熟市海虞初级中学,江苏 常熟 215500)
中考总复习是初中数学学习的重要环节,与新授课的学习有很大的区别.在中考复习阶段,学生已基本掌握了基础知识和基本技能,初步具备了一定的数学知识体系和数学核心素养,总复习是学生对初中数学知识的再一次深入学习.复习的目的是让学生在复习过程中,对所学知识进行整合,优化数学知识体系,并且在复习过程中,发展学生用数学眼光观察现实世界的能力,力求提升学生的数学思维能力和数学核心素养.本文以二轮复习专题课“圆中锐角三角函数问题”为例,谈谈在教学过程中如何优化数学知识体系,提升数学核心素养.
中考数学总复习中,一轮复习通常按教材顺序对初中阶段的主要知识点进行纵向梳理,重点在于整合教材,帮助学生构建完整的初中数学知识体系.二轮复习通常以专题复习为主,立足课本知识,结合中考试题,注重知识结合,所以二轮复习的重点应发展学生思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力,从而达到优化数学知识体系,提升数学核心素养的目的.“圆中锐角三角函数问题”是两种知识相结合的一节专题课,以圆为载体,研究锐角三角形函数问题,本节课从三个基础题引入.
问题1 如图1,⊙O的直径AB为10,AC为弦,且AC=8,则sin∠BAC=____;
图1 问题1图 图2 问题2图 图3 问题3图
问题2 图2是由边长为1的小正方形组成的网格,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C、D,则tan∠ADC=____;
以三道圆中的锐角三角函数问题为例,引出本节课所研究的复习内容,同时给出了三个基本图形,第1题构造直径所对的圆周角是直角,即构造了直角三角形;第2题不仅需要构造直角三角形,同时还需将所求角转换成直角三角形中与之相等的圆周角;第3题本身就是在一个直角三角形中,只是已知锐角三角函数值,求线段长度,除了已知元素和求解元素不同,其基本思想相同,同时可稍作延伸,求线段BD长度的方法不唯一.
由此可以发现,在本节课中学习,学生需激活并梳理圆与锐角三角函数两个知识体系,但其实质是在圆中找到直角三角形这一基本图形.圆作为一种比较特殊的图形,在圆中比较易于构造直角三角形和转换相等的角.在初中阶段,要运用锐角三角函数解决问题,必须将锐角置于直角三角形中.基于此,本节课的基本思想是构造和转换,基本图形是直角三角形.
图4 例1题图
例1作为知识运用,是知识激活的延伸,是对基本思想和基本图形的巩固,进一步强调基本思想是构造和转换,即既要构造直角三角形,又要将已知锐角∠BAC转换到所构造的直角三角形中,基本图形即为构造的直角三角形.
例1的目的是培养学生用数学的眼光观察现实世界,即培养学生抽象能力、几何直观、空间观念和创新意识,从而使学生能在复杂图形中构造出基本图形,进而运用所学知识解决问题.初步构建解决问题的基本数学知识体系,整合已有知识体系,如图5所示.
图5 图中锐角三角函数知识体系
例2 如图6,已知△ABC内接于⊙O,D为AB延长线上一点,过点D作⊙O的切线,切点为E,DE∥BC,连接BE,CE,AE.
图6 例2题图
(1)求证:△ACE∽△EBD;
(2)若AC=9,BD=4,求BE的长度;
例2是例1的提升,与例1相比,其综合性更强,需要用到更多的知识,同时也不能从题设条件直接找到解决问题的方法,只能从已知题设入手,引导学生用数学的思维思考现实世界,即培养学生运算能力、推理意识和推理能力,通过题设条件进行有效推理,从单个条件这一“条件点”,推理得出结论形成“结论线”.
如图7所示,例2共有4个条件:①DE是⊙O的切线;②DE∥BC;由于圆的特殊性,还有2个隐藏条件:③四边形ABEC内接于⊙O;④同弧或等弧所对的圆周角相等.由条件可知,解决本题主要用到三个知识:圆、平行线、直角三角形.第(1)问证三角形相似,涉及相似三角形知识,需找角相等或边成比例,上述结论中角相等较多而没有对应边成比例,因此必然找两角对应相等,得到两三角形相似;第(2)问是第一问的延伸,由相似三角形得到比例关系即可,因此关键即找到BE与CE关系,从上面结论来看,必然由切线这一条件入手;第(3)问是例1的延伸,易于解答.
图7 结论线图
由于单个条件是孤立的,通过推理得到“结论线”,再将多个结论有效串联起来,这种串联不是简单地堆砌,需要围绕同一目标,形成解决问题的基本知识体系.学生在解决问题过程中,形成“点→线→面”的数学思维模式,构建“知识面”,初步形成解决问题的数学知识体系,并在解决问题的过程中进一步整合数学知识体系,培养数学思维,提高解题能力,提升数学核心素养.
例3 如图8,AB为⊙O的直径,D是弧BC的中点,BC与AD、OD分别交于点E,F.
图8 例3题图
(1)求证:DO∥AC;
(2)求证:DE·DA=DC2;
本题是2019年苏州中考第26题,主要涉及圆、平行线、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、二次根式等知识,涵盖了初中三年所学数学知识,其综合性较强,限于篇幅,求解过程从略.
本题是一道以圆为基本图形的综合题,题目给出的题设条件也很少,只有2个,即①AB为⊙O的直径,②AB为⊙O的直径.学生只能从这两个条件即两个“点”出发,进行推理分析形成“线”,得到更多信息,前两问难度较低,基本上由“点”到“线”即可解决问题.第(3)问已知圆中锐角三角函数值,求圆中另一个角的三角函数值,方法也较多,但实质还是要将锐角放到直角三角形中才能解决.因此,只要紧抓本节课的主题:解决圆中锐角三角函数问题的基本思想是①构造直角三角形,②将所求角转换成与之相等的其他角,甚至是这两种思想相结合.同时,在解决问题的过程中可以发现,直角三角形中线段长度都是未知的,不方便求解,所以需要设线段长度才能解决问题.由此可以发现,将“线”串联成“面”的过程中,也需要一些基本图形、基本思想方法甚至基本运算方法等“粘合剂”,从而更好地优化数学知识体系,提升解题能力.
在教学过程中,教师不仅可引导学生总结归纳基本数学图形、基本数学方法等,也可以将思维图形化,利用数字和图形的直观性,将数学知识直观地展现在学生眼前,这样更有利于学生对数学的学习、理解和记忆.数学是一门系统学科,是由许多单独的知识点系统化整合得到的数学知识体系.在教学过程中,教师应帮助学生建立数学知识体系.数学知识体系不仅包括数学知识,还应将基本数学思想体系、常用数学方法体系、数学基本图形体系等纳入整个数学知识体系,从而优化数学知识体系.数学核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的,不同学段发展水平不同.教师应在每一节数学课的教学中,逐步发展学生的数学眼光,培养学生的数学思维,让学生学会用数学语言表达现实世界,从而达到提升学生数学核心素养的目标.数学知识体系的构建和学生核心素养的形成都需要经过漫长的过程,学生具备了一定的数学知识体系和数学核心素养以后,还需进一步进行学科内部的融合,甚至是跨学科的融合,因此学生还需不断地学习,进一步优化知识体系,提升核心素养.
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