徐 敏, 康 哲
(南昌大学信息工程学院, 南昌 330000)
混沌现象的发生是由于非线性系统中的各参数相互作用从而产生的一种非常复杂的现象,它广泛存在于自然界和人类社会中[1].电力系统是一种具有动态行为的非线性系统,当系统发生参数变化、时滞或外部扰动时[2-3],会表现出复杂的非线性动态特性,如低频振荡、同步谐波振荡、混沌等现象.当电力系统产生混沌振荡时,会引起系统过电压、过电流,甚至导致互联电网发生断裂,从而阻碍电力的正常传输[4],混沌现象严重影响电网的正常运行.随着新能源不断加入电力系统,电力系统的运行环境变得更加复杂,电网局部发生的混沌现象可能会演变为电力系统整体性混沌,从而使整个系统崩溃[5-9].因此,研究电力系统的混沌现象对维护电力系统的安全运行具有特殊的意义.
众多学者对电力系统混沌现象进行研究控制,大多数研究电力系统混沌控制的学者针对由七阶电力系统简化得二阶、四阶系统进行混沌抑制,文献[10-11]分别利用反演滑模和全局滑模对二阶电力系统进行控制;文献[12]为提高控制系统的收敛速度以及抗干扰能力,将时滞控制与全局滑模相结合对四阶电力系统进行混沌控制,文献[13]在全局滑模的基础上为加快控制的收敛性,使用快速全局滑模对四阶电力系统进行混沌抑制,也有部分学者[14-15]针对七阶电力系统混沌进行抑制,但少有学者对考虑次暂态电势的九阶电力系统进行混沌抑制研究, 由于该模型是所有模型中最复杂且最能反映实际电力系统基本运行特性的模型,因此抑制模型中的混沌对保证整个电力系统安全稳定运行具有重要的现实意义.
由于滑模控制对系统参数变化和干扰的敏感性小[16],可在一定程度上消除精确建模的必要性,因此滑模控制广泛应用于非线性系统.但其存在抖振现象,为改善缺点,在经典滑模控制的基础上提出了各种方法,如文献[17-18]分别用自适应理论和加入饱和函数的方法来改善抖振现象,不过文献[19]指出滑模控制稳定性的改善和抖振问题的减轻是以性能恶化和鲁棒性降低为代价实现的,协同控制能保留滑模控制优点,并且不存在滑模控制的抖振现象;文献[20]利用协同控制对四阶电力系统进行混沌控制,但其所用宏变量较为简单,控制性能较差;文献[21]提出一种变速协同控制来控制电力系统的混沌现象,但只能改善宏变量在快到达不变流形处的性能,并不能改善整体控制效果,而且其是对简单的二阶电力系统进行控制;文献[22]将固定时间稳定性理论与协同控制相结合以抑制电力系统混沌振荡,取得了较好的控制结果,但其控制方法未考虑系统的抗干扰能力.
大多数控制系统中,控制器参数的选定都是用迭代或试错法来调节的[23].随着复杂系统中需要调整的参数数量越来越多,调整增益变得更加耗时,利用优化算法解决这个问题是很好的选择,文献[24-27]均利用灰狼算法对控制参数进行优化,但灰狼算法存在的初始化问题会使算法陷入局部最优,需进行改进.
针对上述问题,本文对九阶电力系统提出一种基于观测器的PID协同控制,利用观测器对外来干扰进行估计以消除干扰对系统的影响.考虑控制性能的稳准快,在协同控制的基础上加入PID控制以抑制电力系统混沌振荡现象,最后使用改进的灰狼优化算法和构建新的目标函数对系统参数进行优化,以达到较好的控制性能.
考虑如下二阶非线性仿射可控系统:
(1)
利用协同控制理论可对控制输入u进行设计,从而使系统从任意初始状态到不变流形即控制系统使系统满足Ψ(x,t)=0,式中Ψ称为宏变量,可根据系统的控制目标、控制输出的限制等要求来确定宏变量大小且可使其按照规定的轨迹达到不变流形即:
(2)
式中,T为一个正设计参数,决定了宏变量对不变流形的收敛速度;Ψ为一个协同的宏变量;φ(Ψ)为宏变量Ψ的可微函数.
对于不变流形的轨迹,为加快其达到不变流行的响应速度可对其进行改进,参考有限时间控制理论,按照实际控制系统的运行情况得到如下运动轨迹:
(3)
式中,Θ/Ω为系统参数,且为大于零的奇数.
协同控制的核心在于宏变量的选择,它影响着控制性能的优劣,本文考虑PID控制的优点采用PID作为宏变量,设系统(1)的误差为:
(4)
那么PID宏变量可设计为:
(5)
式中,kp、ki和kd分别表示比例常数、积分常数和导数常数.当选取合适参数时,宏变量可进入不变流形,即Ψ=0,对宏变量进行微分可得:
(6)
对φ(Ψ)的选择有三个要求:1) 函数参数是可逆可微的;2)φ(0)=0;3)φ(Ψ)·Ψ>0,∀Ψ≠0.本文选取φ(Ψ)=Ψ,联合式(5)和(6),最后可得控制u:
(7)
为说明系统的不变流形能稳定到达规定的运动轨迹,考虑如下李雅普诺夫函数:
(8)
由运动轨迹即式可知:
(9)
对式(8)进行求导并将式(9)代入,考虑到参数的取值可得:
(10)
e=z-xn,
c2dsgn(e)|e|α2d+vz,
(11)
引理1[28]考虑以下标量函数:
(12)
式中,χ1和χ2分别为小于1和大于1的正常数,a1和a2为正常数.式(12)可在有限时间内达到稳定.假设时间为Tq,则Tq满足:
(13)
为说明干扰观测器能对干扰进行估计,将e的导数代入σd中得
vz-d.
(14)
由上式可得σd导数为
(15)
(16)
由此可知滑动面σd能收敛为零,即σd=vz-d=0,代入式(14)得
(17)
根据引理1,系统可在有限时间T内稳定,由此可说明所提出的观测器能在有限时间内得到干扰d的估计值.
证毕.
灰狼算法于2014年被提出,其受到自然界中灰狼行为的启发,参考灰狼在自然界中的领导和捕猎机制.灰狼算法中有四种类型的灰狼参与优化参数,α代表灰狼等级制度的领导者,主要负责关于狩猎、睡觉地点等的决策;β代表灰狼的第二等级,在决策或其他群体活动中帮助α狼;ω代表排名最低的灰狼,扮演捕猎的角色;δ狼必须服从α和β,但可管理ω狼.在整个搜索空间中,定位最好的三只灰狼,即α,β和δ狼有助于控制剩余的ω狼,使其到达最佳位置.当狼群包围猎物时,狼群根据以下数学模型进行自身位置的变化:
(18)
(19)
根据狼的狩猎行为,将前三个最优值保存为α、β和δ.然后,灰狼种群的位置更新公式如下:
(20)
(21)
通过上式的迭代,最后可得到最优的解.
传统的灰狼算法利用随机函数来对灰狼的位置进行初始化,但这可能会使灰狼的初始位置仅存在一部分区域,更加容易陷入局部最优.本文采用改进的初始化的方法,即将初始化分为若干区域,在各子区域内采用Logistic映射模型来初始化灰狼种群,这样可使灰狼种群在参数范围内更加随机分布.
对于优化的目标函数,本文根据控制要求的“稳”“准”“快”为起点,对于准的指标选取积分时间绝对误差为性能标准,对于稳和快的指标选取超调量、上升时间、过渡时间和峰值时间为性能指标,所提出的目标函数如下,
OF=(1-e-λ)(Mp+ITAE)+e-λ(ts+tr+tp),
(22)
式中,Mp为超调量,ITAE为积分时间绝对误差,ts为系统的过渡时间,tp为系统的峰值时间,tr为系统的上升时间,λ为加权因子,可通过调整加权因子来满足设计者对不同性能指标的要求.
本文采用九阶电力系统模型[29],其在七阶电力系统上考虑次暂态电势,由系统的数学模型表达式中各变量的耦合,可将系统分为三个子系统,对各子系统进行控制,从而使整个系统达到稳定状态,含控制输入的数学模型如下,
(23)
式中,δv和sv分别为系统发动机的功角和转差;Ed′和Eq′为发电机d轴和q轴的暂态电动势;Ed″和Eq″为发电机d轴和q轴的次暂态电动势;Efd为发电机的励磁电动势;δL为负载母线电压相角;VL为负载母线电压幅值;dv为发电机侧外来周期性干扰;uv,uL1和uL2为设计的控制输入.
在系统(23)中,Pg、Id、Iq、Vt、P、Q为各状态变量的函数,变量之间的具体耦合关系见文献[30],系统其它变量均为常值参数,其大小如表1所示．
表1 电力系统常值参数
表1(续)
系统的初始值选为[δv,sv,Ed′,Eq′,Ed″,Eq″,Efd,δL,VL]=[1.3311,0,1.332678,0.1,0,-0.328,4.198,0.2396,0.93].当控制输入为0时,可得系统状态如图1所示．
图1 系统各状态时序图Fig.1 Sequence diagram of each state of the system
由图1可知,系统处于不稳定状态,各变量均为不规则振荡.为进一步观察此时系统的特性,得图2所示的系统相图,通过相图可清楚观察到,系统在经过一段时间的不规则运动之后,便出现如图2(b)所示的混沌振荡状态,最为明显的是出现了奇怪的吸引子,这不利于系统的运行.
根据系统特性,设计控制输入对δv,sv,δL,VL分别进行控制,从而使整个系统到达稳定状态,各子系统表达式如下:
(24)
(25)
(26)
图2 系统相图Fig.2 System phase diagram
式中,δLin和VLin分别是负载母线电压的相角与幅值的积分.根据表达式可知,当三个子系统状态趋于稳定时,Ed′,Eq′,Ed″,Eq″,Efd也会趋于稳定.将系统的期望值设为[δvd,svd,δLd,VLd]=[1,0,1,1.5],则系统误差为:
(27)
根据协同控制设计过程,首先定义系统的PID宏变量为:
(28)
其次,使宏变量按照期望的轨迹达到不变流形,轨迹设计为:
(29)
协同控制设计可得到所需的控制律以保证控制变量朝着预期的轨迹到达稳态点,对式(29)进行求解,得到如下控制律:
(30)
(31)
(P-Pld-P0-p1[Q-Qld-Q0-q2VL-
(32)
利用MATLAB/simulink对电力系统模型进行仿真,以此来验证所设计方法的有效性,各参数如下.
观测器参数:c1d=15,c2d=40,α1d=0.5,α2d=5,ηd=0.1,md=1.5.
控制器参数:T1=5,T2=0.15,T3=3,Θ1/Ω1=1/5,Θ2/Ω2=1,Θ3/Ω3=1/2.
对于灰狼优化算法,取种群数为75,算法迭代数为50,利用灰狼算法分别对三个子系统的PID参数进行优化,其参数范围为:
其优化结果如图3所示.
图3 灰狼算法迭代图Fig.3 Iteration diagram of gray wolf algorithm
图3为各子系统的迭代图,由图可知文章所设计的目标函数是有效的,在改进的灰狼算法下能够较好地对系统参数进行寻优.经过灰狼算法得到的三个子系统的PID参数为:kp1=39.2393、ki1=15,kd1=0.1132,kp2=60,ki2=0.8685,kd2=1.3812，,kp3=62.9303,ki3=1.3418,kd3=0.1088.将寻得的参数代入系统中,得到如图4所示的系统状态图.
图4 控制后系统三个子系统状态变量图Fig.4 State variable diagram of three subsystems after control
通过图1和图4所示的系统状态变量图可以看出,在发生混沌的系统中加入设计的控制器后,系统的运动轨迹基本能在0.3 s内运动到期望轨迹上,整个系统能够由混沌振荡状态变为稳定运行状态.另外,由图4可知,由灰狼算法寻得的参数得到的控制收敛性快,系统的超调量、过渡时间、上升时间以及控制的精准度均较好,这说明了所提出的目标函数的可行性,通过对灰狼算法改进初始化过程能满足对该系统的优化过程.
在协同控制下,子系统状态变量由图1所示的不规则振荡状态到达稳定状态,系统从混沌状态可以过渡到稳定运行状态,为了验证各子系统稳定就能使整个系统到达稳定状态,系统九个状态变量响应曲线如图5所示.
图5 系统各状态变量时序图Fig.5 Sequence diagram of system state variables
由图5可知,在协同控制下,系统九个状态变量均能达到稳定状态,这说明将整个系统分为三个子系统进行控制是可行的,系统的其它状态变量会随着所控制的变量一起趋于稳定.
图6 控制后系统相图Fig.6 System phase diagram after control
图6为含控制器的系统相图演化过程图,在图中*为系统的初始状态,·为系统的稳定状态.图6与图2所示的相图相比,奇怪的混沌吸引子已经消失了,相图中的奇怪吸引子演化成平衡态不动点.
图7 控制器输入图Fig.7 Controller input diagram
图7为设计的三个控制器的输入波形,从图中可以看出,设计的控制器波形较平滑,且没有出现传统滑模控制中存在的抖振现象,这一点表明了在抖振方面,协同控制性能确实比滑模控制优越.
图8 有无观测器的对比图Fig.8 Comparison diagram with and without observer
为了说明设计控制方法的鲁棒性,在发电机侧加入周期性干扰,图8为干扰的情况下,含观测器和无观测器状态变量δv时序图,其中干扰|dv|<0.5.由图8可以看出,协同控制的鲁棒性能较差,不能较好地应对干扰;当加入观测器后,可以较好消除周期性干扰对系统的影响,这表明设计方法的有效性.
1) 本文针对电力系统存在的混沌振荡现象,在七阶电力系统模型基础上对九阶电力系统模型进行混沌控制,使系统模型更加贴近实际系统,所提出的控制方法对实际抑制混沌现象具有一定的参考价值.
2) 本文结合考虑滑模变结构控制方法优缺点,利用变结构控制的协同控制方法对系统进行控制,并将PID与协同控制相结合提出一种基于PID的协同控制新方法,并使用观测器来应对周期性干扰对系统的影响,仿真结果表明该方法有较好的控制效果,具有实际应用价值.
3) 本文考虑控制系统参数调节复杂以及费时费力的情况,利用优化的灰狼算法对控制方法进行参数寻优,构造出新的控制目标函数,优化结果表明能寻得较好的控制参数,可以达到所需的控制效果.
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