李馨
摘 要：在“直线与圆的位置关系”起始课的教学中，设计了两个动态情境，基于直观想象引导学生抽象出其中的几何元素；
通过表达直线与圆的位置关系的几何特征，进一步抽象直线与圆的位置关系的代数特征. 聚焦直线与圆相切的特殊位置关系，用过切点的半径与切线的位置关系表达相切的代数特征，抽象出切线的性质和判定，并通过演绎推理加以证明；
通过纳入知识体系，建立知识间的联系，发展学生的空间观念、几何直观、推理能力及图形关系的抽象能力．
关键词：直观想象；
数学抽象；
代数表达；
教学设计
浙教版《义务教育教科书·数学》九年级下册“2.1 直线与圆的位置关系”一课的内容处于初中平面几何主要教学内容的末段，介于点与圆的位置关系和圆与圆的位置关系之间. 三者的研究方法一脉相承，都是从几何特征（交点个数）和代数特征（圆心的距离和半径的关系）两个角度考虑. 因为直线与圆的位置关系研究的是直线形与曲线之间的位置关系，所以对学生来说比较陌生. 聚焦直线与圆只有一个公共点（几何特征）这一“恰到好处”的位置，理解为什么可以用圆心到直线的距离和圆的半径相等（代数特征）去刻画，是学好直线与圆的位置关系的关键．类比点与圆的位置关系的研究方法，把直线与圆的位置关系问题转化为点与圆的位置关系问题进行研究，可以让学生学会用相似的方法研究不同的问题，学会学习．
一、创设动画情境，基于直观想象，抽象直线与圆的位置关系
教学片断1：动态情境驱动直观想象.
教师借助信息技术呈现如下情境：① 观察日出的过程中，太阳从地平线升起至完全脱离地平线；
② 夜里开着大灯的汽车从墙前的电线杆旁经过，电线杆在墙上的影子从圆形窗口划过．
问题1：在这两个情境中，你观察到了哪几类几何图形？
师生活动：教师引导学生从两个情境中抽象出直线和圆这两类几何图形．
追问1：这两个情境中，直线与圆之间的位置关系发生变化了吗？
追问2：在每个情境中，直线与圆各有几种不同的位置关系？
【设计意图】情境①是学生熟悉的日出的过程，可以把地平线抽象成直线，把太阳抽象成圆，展现了直线与圆的位置从相交到相切再到相离的过程. 情境②中，可以把窗子抽象成圆，把电线杆的影子抽象成直线，展现了直线与圆的位置从相离到相切，然后到相交，再到相切，最后相离的全过程. 情境①呈现了直线不动而圆在动的几何直观，情境②则恰好相反，圆不动而直线在动. 这两个具体情境的创设有利于学生从中归纳出共性，从而抽象出研究对象；
两个情境都是动态的，有利于学生直观感知圆与直线的三种不同的位置关系，获得研究对象之间的关系. 同时，这两个情境的设计也为学生能够顺利地进行后面的数学活动作了铺垫.
动手操作：试画出表示直线和圆的三种不同位置关系的图形．
师生活动：学生自主画图，教师巡视指导.
【设计意图】虽然学生此时并没有学习过直线与圆的位置关系，但是对直线与圆的三种不同位置关系的认知产生于无意识的活动. 学生通过直观感知，即使不能用数学语言准确表述三种不同的位置关系，也能够辨别三种位置关系的差异，并通过画图描述这三种不同的位置关系. 通过这一活动，引导学生初步感知直线与圆的三种位置关系，并通过画图建立几何直观.
教学片断2：通过分类和语言表达抽象直线与圆的位置关系.
问题2：如图1所示的三个图形分别具有怎样的特点？尝试用语言表达出来．
师生活动：教师引导学生通过分享和交流，把三种位置关系的分类推广到一般，并用语言给出三种位置关系的定义，从直线与圆的公共点的个数出发描述几何特征.
当直线与圆有两个公共点时，我们说这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线；
当直线与圆有唯一的公共点时，我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；
当直线与圆没有公共点时，我们说这条直线与圆相离．
【设计意图】借助文字语言抽象出直线与圆的三种位置关系，并给出定义. 在这一过程中发展学生抽象图形与图形之间关系的能力．
二、基于质疑和类比引导学生进一步量化研究
直线与圆的三种位置关系的几何特征是直观的．然而，仅靠肉眼观察有无公共点并不可靠，只有给出量化的判定方法，才能对直线与圆的位置关系进行精确且可靠的判断. 因此，借助直线与圆相切的特殊位置关系设计活动，制造两次认知冲突，启发学生继续思考．
教学片断3：启发学生质疑，引出定量的判定方法.
问题3：在这三种不同的位置关系中，你认为最特殊的是哪种位置关系？
追问：在直线与圆相切的这种特殊的位置关系下，直线与圆有几个公共点？
师生活动：教师选择一个由学生画的直线与圆相切的图形，在实物投影下将其放大到适当的大小（此时屏幕上呈现的直线与圆没有公共点或有两个公共点），学生指出公共点的位置．
【设计意图】引导学生质疑，使学生发现用肉眼看到的“一个公共点”并不可靠，需要进一步找到定量的判定方法．
教学片断4：探究定量判定直线与圆的位置关系的方法.
问题4：怎样获得定量判定直线与圆的位置关系的方法？我们在前面已经学习过点与圆的位置关系，是怎样判定的？对直线与圆的位置关系的判定有什么启发？
追问：如果把直线看作点的集合，你能把直线与圆的位置关系转化为点与圆的位置关系来研究吗？
师生活动：教师引导学生类比点与圆的位置关系的研究方法，用点与圆心的距离与半径作比较.
设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，则：d > r ? 点在⊙O外；
d = r ? 点在⊙O上；
d < r ? 点在⊙O内.
进一步地，如果把直线看作点集，则可以把直线与圆的三种位置关系对应转化为点与圆的位置关系：直线与圆没有公共点?直线上的点都在圆外?直线上到圆心距离最近的点在圆外；
直线与圆有且只有一个公共点?直线上除此点外都在圓外?直线上到圆心距离最近的点在圆上；
直线与圆有两个公共点?直线上有无数个点在圆内?直线上到圆心距离最近的点在圆内.
【设计意图】经历直观观察和想象活动，引导学生把直线与圆的位置关系转化为直线上到圆心距离最近的点与圆的位置关系，使学生抓住问题的本质，发展抽象能力．
问题5：类比点与圆的位置关系，你发现定量判定直线与圆的位置关系的方法了吗？
师生活动：教师引导学生抽象定量判定直线与圆位置关系的方法，并用符号语言表达.
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：d > r ? 直线l与⊙O相离；
d = r ? 直线l与⊙O相切；
d < r ? 直线l与⊙O相交．
【设计意图】引导学生抽象直线与圆的位置关系的定量判定方法，并用符号语言表达，发展学生的抽象能力.
三、应用新知推理判断，发展学生的几何直观和推理能力
教学片断5：应用新知推理判断.
问题6：如图2，已知P为∠ABC的角平分线上一点，BC与⊙P相切. 求证：AB与⊙P相切．
追问1：BC与⊙P相切的位置关系可以转化为哪两个量之间的数量关系？
追问2：要证明AB与⊙P相切，需要哪两个量之间具有怎样的数量关系？
追问3：由已知条件“P为∠ABC的角平分线上一点”，可以建立哪两个量之间的联系？它们之间具有怎样的数量关系？
师生活动：学生独立思考，在明确问题中的已知条件和需要实现的目标的基础上，分析并解决问题. 教师板书示范证明过程.
【设计意图】通过解决与教学目标和内容匹配的问题，让学生应用新知进行推理，巩固本节课所学知识，发展学生的空间观念、几何直观和推理能力．
四、基于课例的思考
1. 重视知识之间的联系
要把直线与圆的位置关系纳入学生的知识系统，需要建立更广泛的联系. 两点之间的位置关系是几何图形中最基本的位置关系，可以由方向和距离来刻画两个点之间的位置关系. 直线与圆的位置关系归根结底是通过点与点的距离来刻画的：r与d即为两点之间的距离与点到线的距离，其中，圆心到圆上一点的距离为r（r的确定与方向无关），圆心到直线的距离为d（d的确定与方向有关）；
进一步把圆心到直线的距离d看成圆心到垂足的距离. 由此获得研究对象中最基本的要素：圆心、圆上一点和垂足. 事实上，这三个点是进一步研究切线的性质的关键．
2. 教学设计契合知识发生发展逻辑和学生认知规律
本节课中，借助信息技术呈现了两个动态的情境，由此引入研究对象，提出研究问题. 首先，学生通过把现实情境抽象为直线与圆之间位置关系变化的数学情境，从而对变化过程中圆与直线的三种特殊位置关系进行分析、比较、综合，归纳共同特征；
其次，根据直线与圆的公共点个数的几何特征进行分类并下定义，通过教师的引导质疑，进一步提出对直线与圆的位置关系进行量化研究的问题；
最后，通过类比点与圆的位置关系的研究，规划直线与圆的位置的关系的研究路径，经历把直线与圆的位置关系问题转化为点与圆的位置关系的过程，从而抽象出直线与圆位置关系的代数特征. 研究过程从知觉运动经验开始，先基于视觉直观进行直线与圆位置关系的分类，并借助几何中的公共点进行逻辑表达，在此基础上通过类比点与圆的位置关系的研究方法进行定量研究，获得直线与圆的位置关系的代数表达. 這些数学活动体现了从直观到逻辑、从定性研究到定量研究的循序渐进的探索过程，符合数学知识发生发展的逻辑，也符合人们研究几何问题的一般认知规律，实现了数学逻辑与学生学习认知规律的有效统一．
3. 融合内容，发展学生的数学核心素养
在引入直线与圆的位置关系、提出研究问题、抽象数学概念的过程中，通过创设情境引导学生经历直观观察、想象与抽象，得到直线和圆这两类几何图形，通过聚焦其位置关系进行分类，抽象出直线与圆的位置关系，并用文字语言给出定义，用符号语言表示. 经历这些图形关系的抽象活动，发展学生的空间观念、几何直观和抽象能力．
在研究直线与圆的位置关系代数表达的过程中，通过教师的引导质疑，启发学生进一步提出量化研究问题，并实时引导学生通过类比点与圆的位置关系的量化研究经验，规划研究思路，把直线与圆的位置关系问题转化为点与圆的位置关系问题. 在这一过程中，引导学生进行数学思想方法的抽象和迁移应用，发展学生的抽象能力．
在类比点与圆的位置关系，用点集的观点看直线的活动中，其实是引导学生用新的视角去观察问题，这样可以发展学生的创新意识．
在类比点与圆的位置关系，抽象出直线与圆的位置关系，并用文字语言和符号语言进行表达的过程中，发展学生的数学抽象能力和数学表达能力．
总之，在“直线与圆的位置关系”一课中，笔者通过创设适当的情境、提出适当的问题，融合内容引导学生经历直观观察与想象、数学抽象、逻辑推理等数学活动. 在这些活动中发展学生的空间观念、几何直观、抽象能力和推理能力，从而发展学生的数学核心素养. 这种教学设计的策略可以迁移到其他几何内容的教学中．
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.
［2］李海东. 义务教育教科书（人教版）教师培训手册·数学（七 ～ 九年级）［M］. 北京：人民教育出版社，2014．
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