李胤演，行鸿彦∗
(1.南京信息工程大学电子与信息工程学院，江苏 南京 210044；
2.南京信息工程大学，江苏省气象灾害预报预警与评估协同创新中心，江苏 南京 210044)
大气电场在实际测量中，其测量值会受地表相对介电常数的影响。因此，在利用大气电场测量值进行雷暴云定位时，需要附加测量点的相对介电常数进行校正。相对介电常数是电学中的重要物理量，表征了介质材料的介电性质或极化性质，据中华人民共和国石油天然气行业标准所规定的标准岩样介电常数测量方法，需将测量对象通过洗油、洗盐以及烘干处理，制成厚度为3 mm 的岩样，再将岩样置于平行板电容传感器中进行测量[1]。该测量方法制样繁琐复杂，不适用于地表相对介电常数的实时测量。此外，还可利用探地雷达来测量地表的相对介电常数，但由于仪器昂贵庞大，不适合大规模应用[2]。为提供一种能够大范围应用的，用于地表介电常数实时测量的传感器，选用同面极板电容传感器。该方法无需采样，测量方便，可对地表相对介电常数进行实时监测。
1997 年，赫文清等人[3]分析了多极对同面电容器的电场分布情况。2007 年，李庆先等人[4]探讨了电容式传感器的非线性影响因素，建立了非线性影响的数学模型，指出了对非线性影响实施补偿的校正方法。2008 年，张君等人[5]针对围护结构含水率的测试特点，通过理论分析、仿真和实验，设计出的围护结构含水率测试仪满足探测深度和应用时探测灵敏度的要求。2013 年，曹河等人[6]分析了有无保护电极对于测量灵敏度的影响。通过对极板在各种保护电极方式下的电势进行分析，使用驱动保护电极后可以使传感器的灵敏场变得均匀，为传感器的优化设计提供了依据。2014 年11 月，朱兵等人[7]研究了激励信号频率、波形与检测灵敏度的关系，分别给出了为使8 电极电容传感器具有更高的灵敏度，激励信号类型选取方法和激励幅值、频率及矩形波占空比的取值范围，为选取合适的激励信号提供了依据。2015 年1 月，Mizuguchi 等人[8]分析了叉指结构不同的几何形状对测量效果的影响，并讨论了一种将传感器电容变化转换为脉冲信号宽度变化的电路。2017 年1 月Risos 等人[9]研究了用于叉指介电传感器的3D 法拉第屏蔽及其对电容的影响，增强了我们对叉指介电传感器的理解。2017 年12月，詹争等人[10]基于三维有限元仿真模型，研究了感应面积一定的条件下，电极对数、电极宽度与间距比对传感器信号强度、灵敏度以及穿透深度的影响。2020 年3 月，Morais 等人[11]提出了一种基于印刷电路板技术的电容式智能传感器，该传感器允许在没有高频振荡器的情况下测量小电容误差。2020 年10 月，Petre 等人[12]研究了一种PCB 制造的叉指式电容土壤湿度传感器，作为市场上现有传感器的低价替代品，通过测量和仿真，研究了纵横比和介质厚度对传感器灵敏度和电容的影响。2021 年，魏加强等人[13]基于电场有限元分析，研究了极板结构对信号测量的影响，发现电极间隙距离越大，测量误差越大。
当前，国内外学者对于同面极板电容传感器结构设计已有一定研究，同面极板电容传感器在水分检测、缺陷检测等场景中得到广泛应用。但同面极板电容器的结构设计，主要是基于有限元法，利用电磁仿真工具，通过对不同结构的同面极板电容器进行电磁仿真，找到传感器的不同结构设计对于信号测量效果的影响。这类方法缺乏公式推导验证，无法对同面极板电容器的各项结构设计进行精密的量化，且针对不同应用场景下的电容传感器设计缺乏普适性。因此，推导得到同面极板电容传感器结构设计的信号测量模型是十分必要的。
本文研究同面极板电容传感器的测量原理，基于提高传感器的测量灵敏度与有效测量范围这一目的对传感器结构进行设计，结合长直导线的场强与平行极板间电容原理，推导同面电极传感器结构设计模型，利用MATLAB 的PDE 电磁仿真工具与实际测试对模型进行验证，并给出了地表相对介电常数测量应用场景下的同面极板电容传感器最优设计。
雷暴云一般处于距离地表1 km～12 km 的范围之内，而地壳的平均厚度为30 km～40 km 范围，雷暴云的镜像电荷处于地壳深度范围之内，因此，镜像法适用于分析雷暴云电荷的分布情况[14]。
基于雷暴云高度与地壳结构的相对位置，选用镜像法对大气电场进行分析。由于大气中电场是关于z轴对称的，因此利用XOZ截面分析大气电场即可，镜像法示意图如图1 所示[15]。将空中雷暴云电荷视为点电荷，将地表视为无限大均匀电介质平面，利用镜像法进行电场分析。X轴为地平线，q为点电荷，q1为点电荷在地壳介质中的镜像电荷，q2为点电荷在空气介质中的镜像电荷，R1为点电荷q距离观测点A的距离，R2为地壳镜像电荷距离观测点A的距离，Z为观测点A距离地表的距离，H为镜像电荷距离地表的距离，空气介质的介电常数为ε1，地壳介质的介电常数为ε2。
图1 点电荷镜像示意图
由镜像法知，空气区域的电场由点电荷q和地壳中的镜像电荷q1共同产生，地壳中的电场由点电荷q和空气中的镜像电荷q2共同产生。当z≥0 时，其空间电位为:
镜像电荷大小为:
将q1、q2表达式代入式(1)可得空气介质和地壳介质中的电位，分别为:
根据静电学原理，由空间介质中的电位可推得大气电场的水平电场分量Ex、Ey和垂直电场分量Ez，其计算公式为:
式中:ε0为真空介电常数。由式(5)、式(6)、式(7)可得，探测点所测得的大气电场三维场强分量大小不仅与距雷暴云点电荷位置相关，还与地表相对介电常数相关。因此，若想获得准确的大气电场分量进行雷暴云定位，需要设计一种介电常数测量装置实时获得地表相对介电常数的变化，对大气电场测量数据进行校正。
地表介电常数的变化会时刻影响雷暴云的定位精度，而传统的平行板电容传感器测量时需要制备样本，不适合实时测量地表介电常数的应用场景。因此本文选用同面极板电容传感器，该传感器具有无需采样、测量方便的优点，可用于地表相对介电常数的快速测量和长时间变化的监测。
同面极板电容传感器是基于电容边缘效应的传感器，其电极位于同一平面，具有单边穿透、信号强度可调等优点，且测量时无需采样。传感器极板的结构参数主要为电极宽度、电极间距、电极面积、电极厚度和电极长度等。极板的结构设计决定传感器性能，研究极板结构设计对传感器性能的影响，有助于优化同面极板电容传感器的设计，提高传感器性能。
2.1 同面极板电容传感器测量原理
同面极板电容传感器的基本测量单元由驱动电极、感应电极、屏蔽电极和绝缘基板组成，如图2所示。
图2 同面极板电容传感器基本测量单元结构图
驱动电极与感应电极是置于同一平面上的一对极板，屏蔽电极置于驱动电极与感应电极的四周和背部。测量时，将屏蔽电极接地用以屏蔽外部空间干扰电场，对驱动电极施加激励信号，驱动电极与感应电极两块极板上部形成弧形电场，当测量区域中地表相对介电常数发生改变，传感器的电容也会发生变化，测量其电容变化值，计算得到地表相对介电常数[16]。
电容传感器等效电路图如图3 所示，交流激励信号为Ui，传输线的电感和电容器本身的电感为L，导线电阻为Rs，Rp为极板间的等效漏电阻，主要为极间介质的有功损耗，Cp为A、B段间的寄生电容，Cx为待测电容。当传感器的激励信号为固定的正弦波信号时，所测电容Cx仅与极板上方的介质有关，将介质的介电常数ε与电容测量值Cx进行拟合，得到多项式ε＝f(Cx)，求解得到ε。其他参数大小固定，可通过提前校准去除Cp、Rp等因素的干扰。信号处理流程图如图4 所示。
图3 电容传感器等效电路图
图4 信号处理流程图
2.2 极板结构设计对信号测量灵敏度的影响
信号测量灵敏度反映的是当极板上方介质发生改变时电容的变化量，电容变化量越大，则传感器测量灵敏度越高。
2.2.1 极板间电容模型建立
由于同面极板间电力线尤其复杂，无法精确地导出极板间电容表达式[17]。同面极板非线性场的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界情况，保角变换法可充分发挥复变函数的特长，将原物理平面上复杂几何域映射成像平面上的中心单位圆、半无限平面等。
设同面极板电容器的两块极板长为L，宽为b，极板间间距为a。其截面图如图5(a)所示。极板AB、CD延伸后相交于O点，交角为θ，极板B端、A端到O点的距离分别为R1和R2。
图5 保角变换示意图
式中:εx为被测介质的相对介电常数，εs为基板的介电常数。据保角变换法所推得的非平行板电容公式式(9)与文献[18]和文献[19]所推结果相符。
2.2.2 仿真验证
由式(9)可知，同面极板电容大小与极板长度L、极板宽度b和极板间距a有关，若保持极板长度L不变，则电容大小取决于极板宽度与极板间距的比值b/a。极板宽度与极板间距的比值越大，所测电容值越大，即传感器的测量灵敏度越高。
选用MATLAB 软件中的PDE 工具箱，仿真同面极板的电场强度，验证极板宽度与极板间距的比值和测量灵敏度之间的关系。分别设置极板宽度与极板间距比值为10 ∶1，5 ∶1，2.5 ∶1，进行三次仿真模拟。
设定偏微分方程边界条件满足迪利克雷条件，驱动极板电压设为30 V，感应极板电压设为－30 V，无限远处空间电压设置为0 V，计算公式为默认的泊松方程，认为两个极板带电大小相等，空间电荷密度设为0，介电系数设为1。电场强度仿真结果如图6所示。
图6 不同极板宽度与极板间距比值下的电场强度仿真结果
如仿真结果所示，极板宽度与极板间距比值越大，电场强度越大，则所测电容越大，传感器测量灵敏度越高，符合式(9)。理论上来说，可以通过不断加大极板宽度与极板间距的比值来提高传感器测量灵敏度，但同时极板设计还得兼顾对信号测量范围的影响，因此并不能无限提高极板宽度与极板间距的比值。
2.3 极板结构设计对信号测量范围的影响
信号测量范围反映的是传感器对介质测量时，最大的测量距离。进行传感器极板设计时，不仅需要考虑极板结构对信号测量灵敏度的影响，还需要考虑不同的极板结构与信号测量范围之间的影响关系。
2.3.1 信号测量范围模型建立
利用长直导线的场强公式，通过单元积分法，转换为有限平面的极板场强公式，得到极板结构与信号测量范围的关系，图7 为信号测量范围示意图。
图7 中，点A为被测量点，r为A点距导线的距离，h为A点距极板的距离，b为极板宽度。已知长直导线的场强公式为:
图7 信号测量范围示意图
式中:k为常数，λ为导线电荷密度。基于式(10)的长直导线场强公式，将线电荷密度λ改为面电荷密度的微分σdr，通过单元积分法，得到极板的场强公式:
式中:Q为极板带电量。式中可见，电场场强大小与面电荷密度、测量范围以及极板宽度有关，因此，为清晰反映极板结构设计与场强关系，需要对一些参数进行设定，作为定值进行处理。因此保持极板带电量Q、极板长度L以及电场强度E不变，则测量距离h是关于极板宽度b的一个先增后减的函数，这意味着极板的宽度在设计中不能无限加长，极板宽度的最佳距离在式(11)取的最大值处获得。
2.3.2 仿真验证
选用MATLAB 软件中的PDE 工具箱，仿真同面极板的电场强度，验证极板面积和测量范围之间的关系。保持极板长度L不变，分别设置极板宽度为0.6 cm、0.8 cm、1 cm、2 cm、4 cm、6 cm，保持极板宽度与极板间距的比值不变，进行六次仿真模拟。
设定偏微分方程边界条件满足迪利克雷条件，驱动极板电压设为30 V，感应极板电压设为－30 V，无限远处空间电压设置为0 V，认为两个极板带电大小相等，空间电荷密度设为0，介电系数设为1。仿真结果如图8 所示。
图8 不同极板面积下的测量范围仿真结果
透过仿真结果发现，随着极板宽度的增加，极板间测量范围逐渐增大，但当极板宽度达到一定程度时电场轮廓发生畸变，极板两侧电场逐渐增大，而极板中间场强范围变小，符合式(11)所反映的场强范围变化规律。分析电场随着极板宽度变化的原因，可能是因为随着极板宽度逐渐增加，电荷的尖端效应愈发明显，电荷过多积聚在极板两侧尖端，造成极板两端场强大，中间场强小。因此，在进行极板设计时，极板宽度也不能一味增加。
2.4 基于地表相对介电常数测量的同面极板电容传感器设计
同面极板电容传感器的极板设计应结合实际的应用场景，根据应用场景确定传感器对于测量灵敏度和测量范围的要求。本文设计的同面极板电容传感器用于实时测量地表相对介电常数的变化，提高雷暴云定位精度，基于这一应用，给出传感器的测量需求，完成传感器最终设计。
式(9)、式(11)分别是传感器测量灵敏度和测量范围对于极板设计的要求，此外PCB 板制造工艺的要求也限制了极板的设计。表1 列出了传感器极板设计的各项要求。
表1 同面极板电容传感器的极板设计要求
如表1 所示，由于极板宽度与极板间距比值越高，信号测量灵敏度越高，且极板间距加工要求最小为0.4 mm，考虑到印刷电路板制作成本及品质，因此设计极板间距a为1 mm。
地表相对介电常数在无外界环境干扰下，其数值一般是稳定的，但在降雨环境下，雨水渗透入地表，从而改变地表相对介电常数。崇佳文等人[21]曾做过铺装路面雨水的下渗研究，发现铺装路面雨水的平均下渗深度小于15 mm；
蒋春博等人[22]研究了土壤地表的雨水下渗，选择降雨重现期为两年一遇，降雨历时120 min 的降雨为研究对象，其稳定下渗率为0.497 mm/min，下渗深度约为60 mm。基于以上研究，为使测量传感器能够完整反映降雨环境下地表相对介电常数的变化，选择60 mm 作为传感器的最大测量距离h。
根据表1 中极板设计对于测量灵敏度和测量范围的要求，联立式(9)、式(11)，找到兼顾传感器测量灵敏度与测量范围的最优传感器极板设计。
将a＝1 mm、h＝60 mm 代入式(12)中，整理得，
式中:Cx反映了信号测量灵敏度，Cx越大表明测量灵敏度越高；
E表示距测量极板60 mm 处(最大测量距离)的电场强度，E越大表明传感器对60 mm处信号的测量效果越好。式(14)的函数曲线如图9所示。
图9 最优极板宽度选择
可见，当极板间距一定时，极板宽度越大，传感器测量灵敏度越高，但传感器的测量范围却在100 mm处取得最大值，当极板宽度大于100 mm 时，传感器测量范围开始变小。根据式(14)的函数图像，为兼顾传感器的测量灵敏度和测量范围，选择100 mm 作为最终的极板宽度。同面极板电容传感器最终设计如图10 所示。
图10 同面极板电容传感器设计
同面电容传感器由驱动电极、感应电极、屏蔽电极以及绝缘基板四个部分组成，驱动电极与感应电极的极板结构相同。实际应用时，可以在传感器上设置多对极板以增加传感器的灵敏度，即ΔC的变化量。
最终设计共设置三组极板，每块极板长为300 mm，宽为100 mm，极板间距为1 mm，极板宽度与极板间距的比值为100 ∶1，整个传感器采用印制电路板制成。
测量电路由电容传感器、信号驱动电路、信号放大电路、电容测量电路、平滑滤波器、带通滤波电路、桥式全波整流电路、模数转换和单片机电路组成，其测量电路关系见图11。
图11 测量电路示意图
RC 振荡电路采用固定频率为3 kHz 的正弦波信号，经运算放大电路放大后驱动电容传感器；
电容测量电路采用容抗法，将电容容值变化转化成电压变化进行测量；
平滑滤波器对低频杂波进行滤波，减少噪声，平滑曲线；
带通滤波电路再次对测量信号进行滤波，滤除低频和高频杂波；
最终，正弦波信号经桥式全波整流电路整流成脉冲直流信号后输出至STM32 单片机，单片机自带12 位AD 转换器转换成直流电压，计算出相对介电常数，然后传送至液晶显示器显示，并通过串行口发送至上位机。电路实际搭建如图12 所示。
图12 实际电路搭建
系统标定测试分为两部分。一是测量电路的标定，采用精度为5‰的高精度电容接入电路，调节运算放大电路的放大幅值，结合电容计算公式，使测量显示值与电容标注量相同，从而实现对传感器漏电阻和寄生电容的校准。二是对相对介电常数与容值关系的标定，取纯水作为标准，纯水相对介电常数为80，当被测介质为纯水时，实际测量容值为4.3 pF。经理论计算，当被测介质为纯净水时，上半平面同面电容初值约为4 pF，测量相对误差为7.5%，结果可信。纯净水距测量传感器距离为60 mm，达到设计标准。
为解决当前传感器设计高度依赖仿真，缺少理论支撑的问题，本文分析同面极板电容传感器的基本测量原理，基于保角变换和长直导线场强公式，利用单元积分法，建立同面极板电容传感器的信号测量强度模型和电场分布模型，确定同面极板电容传感器电极的不同设计对于信号测量灵敏度和信号有效测量范围的影响，利用MATLAB 的PDE 仿真工具验证模型的正确性，结合实际地表相对介电常数测量的应用场景，确定传感器极板的最优设计。研究发现，同面极板电容传感器的信号测量范围随着极板宽度的增加先增后减，并在极板宽度为100 mm 处获得最大测量范围。传感器信号测量的灵敏度则与极板面积和极板宽度与极间间距的比值有关。测量电极宽度与电极间缝隙宽度的比值越大，信号测量灵敏度越大，同时测量极板的面积与信号测量灵敏度也成正比。依据地表相对介电常数测量的实际应用场景，确定极板共三组，每块极板长为300 mm，宽为100 mm，极板间距为1 mm，极板宽度与极板间距的比值为100 ∶1。经标定测试，在距传感器60 mm的测量范围内，测量相对误差小于10%，达到设计要求。本文所建立的传感器设计模型能为传感器优化提供支撑。
本文利用理论推导和软件仿真，分析了同面极板电容传感器的测量原理，确定了电容传感器极板设计对于传感器测量范围和测量灵敏度的影响，给出了同面极板电容传感器极板设计的通用数学模型，最终依据实际应用场景，确定了传感器的最终设计，但本文工作标定实验较少。下一步工作，将进行更多不同介质的测试实验，完善传感器的信号处理电路，进一步验证传感器的测量效果，分析传感器的测量误差是否满足雷暴云定位要求。
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