于永堂，郑建国
（1.机械工业勘察设计研究院有限公司，陕西 西安 710043；
2.西安建筑科技大学土木工程学院，陕西 西安 710055；
3.中联西北工程设计研究院有限公司，陕西 西安 710077）
我国西部黄土丘陵沟壑区地形起伏、沟壑纵横、平地较少，为了增加建设用地，近年来实施了大量挖填交替、方量巨大的黄土高填方工程，一些工程的填方厚度达几十米甚至上百米.黄土高填方场地的沉降变形除在施工期发生外，工后期还会继续发生，且往往会持续很长时间.实际上，后续工程往往无法等到场地的工后沉降完全稳定时才开始修建，若建（构）筑物修建时间过早，剩余沉降或差异沉降超过其所能承受的限值时，将会导致其损毁破坏，严重时甚至无法使用.因此，准确地预测工后沉降，对确定后续工程的建设时机、保障工程安全和指导建（构）筑物的规划布局等具有重要意义.
黄土高填方场地涉及地形地质条件复杂的原地基以及填料性质特殊、填土厚度大幅度变化的填筑体，受地下水位变动和地表水入渗等环境条件变化影响，准确预测工后沉降难度较大.沉降预测方法主要有两类[1-3]：第一类是基于固结理论、本构模型的理论方法；
第二类是基于前期实测数据外推预测的经验方法.由于理论方法常存在大量简化假定、模型参数不易准确测定等原因，导致理论预测值与实测值往往存在较大差异，实际工程中尚难以完全依靠理论方法进行沉降预测，而常采用基于前期实测数据外推预测的经验方法，如双曲线模型法[4]、指数函数模型法[5]、幂函数模型法[6]、星野法[7]、Weibull模型法[8]、Logistic模型法[9]、Gompertz模型法[10]、邓英尔模型法[11]、灰色理论法[12]、神经网络法[13]、数值反演分析法[14]等，其中回归参数模型法因计算简便、实用性强等特点，被工程技术人员广泛采用.上述预测方法均有其适用范围及适用条件，笔者在工程中实际应用时发现，一些预测模型存在收敛过早或发散严重等问题，并不适用于黄土高填方场地的工后沉降预测.
本文根据典型黄土高填方场地的工后沉降数据特点、曲线特征和发展演化规律，提出了收敛型和发散型两种用于工后沉降预测的新回归参数模型（简称新模型），介绍了新模型的基本性质与参数求解方法，并结合实测沉降数据检验了模型的预测精度和适应性.新模型可为黄土高填方场地的工后沉降预测提供参考.
陕北某市地处黄土丘陵沟壑区，城市建在沟谷之中，因地形条件限制，建设用地紧张，近年来为增加建设用地，开展了多处挖填造地工程，其中工程Ⅰ、Ⅱ分别是该市在原中心主城区的北部和南部实施的两处典型黄土高填方工程.现将两处工程的基本情况简要介绍如下：
工程Ⅰ的建设面积约10.5 km2，长度约5.5 km，宽度约2.0 km，最大填方厚度约112 m.本工程原始地形为沟谷形，通过开挖梁峁区土体填入沟谷中，形成大厚度填方场地.场地内出露的地层主要为第四系全新统洪积层粉土、上更新统马兰黄土、中更新统离石黄土、新近系棕红色、暗紫色红黏土和侏罗系砂岩、泥岩互层.工程区域分布有较大范围的人工筑坝拦淤形成的淤积土，具有结构松散、含水率高，高填方荷载作用下沉降量大、变形稳定时间长等特点.地下水类型有第四系孔隙潜水和侏罗系基岩裂隙水两大类，自周边分水岭地带顺地势向沟谷径流汇集，转化为地表径流排泄于区外.本工程建设过程在沟底设置了地下盲沟排水系统用于疏排地下水，对原地基采取强夯法处理，填筑体采用分层碾压法（冲击碾压、振动碾压）处理，填土的压实系数要求不小于0.93 （重型击实试验控制）.本工程自2012年4月17日起开工建设，至2013年10月底土方施工陆续完工，随后布设地表沉降观测点，观测工作自2013年11月10日起，至2017年8月7日，累计观测时间历时1366 d.
工程Ⅱ的建设面积约0.093 km2，长度约360 m，宽度约260 m，最大填方厚度约42 m.本工程填方区原始地形为沟谷形，梁峁区主要地层为第四系上更新统马兰黄土及中更新统离石黄土、新近系红黏土和侏罗系砂泥岩；
冲沟区分布有第四系全新统冲积层.场地内的地下水主要为基岩裂隙水，以下降泉的形式在沟谷内出露但水量较少.高填方施工过程在填方区沿原沟谷沟底设置了地下排水盲沟，沟谷区原地基采用强夯法处理，填筑体采用分层碾压法处理，填土压实系数要求不小于0.95 （重型击实试验控制）.本工程自2009年8月28日起开工建设，至2010年9月底土方施工陆续完工，随后布设地表沉降观测点，观测工作自2010年10月6日起，至2012年9月17日，累计观测历时713 d，共获得32期沉降数据[15].
根据前述两处典型黄土高填方工程的工后沉降数据，对黄土高填方场地的工后沉降特征进行分析.工程Ⅰ、Ⅱ的工后沉降数据均为非等时距，前期观测周期短、后期观测周期长.
图1代表工程Ⅰ、Ⅱ中典型监测点的工后沉降变形.图1（a）中监测点J1、J2处的填土厚度分别为103.8、64.2 m，图1（b）中监测点S1、S2处的填土厚度分别为32.4、27.3 m，剔除了观测历时为469 d和510 d （当年11月至次年3月间冰冻期）受冻融影响的异常沉降数据.
图1 典型黄土高填方场地的工后沉降曲线Fig.1 Duration curves of post-construction settlement of typical loess high fill site
由图1可知：黄土高填方场地的工后沉降曲线主要呈“J”形和“S”形两种形态，由于各监测点的填土厚度相差较大，使压缩土层厚度及自重荷载相差大，不同监测点的沉降量也差异较大；
工后期阶段，填土施工刚完成，自重荷载不再增加，土方施工加载引起的瞬时沉降已经完成，绝大多数监测点的工后沉降曲线如图1（a）所示，曲线形态呈现出由快速增长向平缓增长，沉降曲线总体呈缓变型，近似呈“J”形曲线形态，根据填方工程沉降曲线的发展特点，最终将逐渐趋于某一定值；
部分工后沉降曲线如图1（b）所示，表现出初始阶段短时相对平缓地增长（初始沉降阶段），然后进入快速增长阶段（加速沉降阶段），达到一定程度后又趋于平缓（趋稳沉降阶段），最终也将趋于某一定值（极限沉降阶段），近似呈“S”形曲线形态.
工后沉降的发展是事物发生、发展、成熟并到达一定极限的过程，因此可以借此对“S”形曲线的产生机理进行解释.该类曲线的发展过程可分为以下4个阶段：
1）第Ⅰ阶段：初始沉降阶段.在沉降变形初期，上部非饱和土层排气条件好，下部非饱和土层的排气条件差.已有研究表明，排气条件是影响非饱和填筑体沉降发展的关键因素，排气条件较好土层的工后初期沉降量甚至是排气条件较差土层沉降量的2倍以上[16].此时，测点主要反映上部土层的弹性或近似弹性的沉降变形.
2）第Ⅱ阶段：加速沉降阶段.上部土层的荷载逐步传递到下部土层，引起下部土体进入弹塑性状态.随着塑性区的不断开展，测点的沉降速率也在不断地增加.
3）第Ⅲ阶段：趋稳沉降阶段.由于填土固结尚未完成以及土体的流变，测点的沉降将随着时间的推移而继续，但沉降速率递减.
4）第Ⅳ阶段：极限沉降阶段.从极限理论上讲，当时间为无穷大时，沉降最终将达极限状态，此时沉降将不随时间发生变化.
由于填土分层填筑荷载相对较小，加之施工结束后首先需埋设沉降观测标点，无法立即进行沉降观测，即存在一定的时间滞后性，导致代表“S”形沉降曲线“发生”的“初始沉降阶段”在观测到的全过程沉降曲线所占时间很短，没有文献[17]中的沉降曲线那么明显.当未观测得到该阶段变形时，所沉降-时间曲线则呈现为“J”形.
本次针对黄土高填方场地的工后沉降数据特点、曲线特征和发展演化规律，提出了发散型和收敛型两种用于预测工后沉降的新模型.
3.1 新模型Ⅰ的函数表达式与基本性质
新模型Ⅰ的函数表达式为
式中：st为预测沉降量；
t为时间；
a、b、c、d为待求模型参数，均大于0.
该新模型具有以下基本性质：
1）过原点：当t= 0时，s0= 0，模型不包含初始加载时的瞬时沉降.
2）无界性：当t→∞ 时，st→+∞，模型无法直接获得最终沉降量，仅能以达到某一较小沉降速率时的沉降量作为最终沉降量.
3）单调性：对st求一阶导数，可得沉降速率s′t的函数表达式（2），由s′t>0可知，模型单调递增.
4）适应性：对式（1）求二阶导数，可得
图2 新模型Ⅰ的参数变化对曲线形态的影响Fig.2 Influences of parameter change of the new model I on the shape of curves
由图2可知：通过调整模型参数，本模型能够在较大范围内描述几何上为“J”形和“S”形的沉降曲线.当讨论其他参数变化时的曲线形态，可采取类似方法进行计算和分析.
选取图2（a）中“J”形曲线模型参数为a=2.000，b= 0.500，c= 0.100，d= 0.500以及图2（b）中“S”形曲线模型参数为a= 0.200，b= 0.100×10−5，c= 0.500×10−3，d= 0.400的沉降曲线，根据式（2）、式（3）绘制沉降速率、沉降加速度的全程变化曲线，如图3.由图3可知：类型A的沉降速率和沉降加速度均持续降低，类型B的沉降速率存在一个峰值点，沉降加速度存在正负两个峰值点；
对于类型B，若令s′t′=0，则可确定本模型预测曲线拐点（沉降速率最大值点）所对应的时间，同时，若令s′t′′=0，可确定出沉降加速度函数的两个峰值点所对应的时间.综合上述分析可知，通过调整模型参数a、b、c、d值，可模拟相当大变化范围内的沉降曲线，能够描述几何形态上为“J”形和“S”形的沉降曲线，表明新模型Ⅰ具有较强的适应性.
图3 新模型Ⅰ的沉降速率和沉降加速度全程变化曲线Fig.3 Settlement velocity and acceleration curves of the new model I
3.2 新模型Ⅱ的函数表达式与基本性质
鉴于新模型Ⅰ属发散型模型，无法直接获得最终沉降量，故又提出一种收敛型新模型Ⅱ，其函数表达式为
该新模型具有以下基本性质：
1）过原点：当t=0时，s0=0，可见该模型通过原点，不包含初始加载时的瞬时沉降.
2）有界性：当t→∞ 时，s1t→a/b，表明该模型属于收敛模型，a/d为模型的最终沉降量.
3）单调性：对s1t求一阶导数如式（5）所示，由沉降速率s′1t>0，表明该模型单调递增.
新模型Ⅱ中参数变化时的曲线形态如图4所示.由图4可知：固定其他参数不变，仅参数b在(0,1]范围内变化，能够在较大范围内描述“J”形沉降曲线特征；
固定其他参数不变，仅参数b在(1, + ∞)范围内变化，能够在较大范围内描述“S”形曲线特征.
图4 新模型Ⅱ的参数变化对曲线形态的影响Fig.4 Influences of parameter change of the new model Ⅱ on the shape of curves
当a= 1.200，b= 1.00，c= 0.600，d= 0.005（类型A"：对应“J”形曲线）和a= 0.300，b= 2.200，c= 50.000，d= 0.001 （类型B"：对应“S”形曲线）时沉降速率、沉降加速度的全程变化曲线如图5.由图5可知：类型A" 的模型参数b在(0, 1]范围内，沉降速率和沉降加速度均持续降低；
类型B" 的模型参数b在(1, + ∞)范围内，沉降速率存在一个峰值点，沉降加速度存在正负两个峰值点，峰值点处曲线斜率为0.与新模型Ⅰ类似，对于新模型Ⅱ中的类型B"，若令=0及=0 则分别可确定本模型沉降加速度函数的两个峰值点所对应的时间及模型预测曲线的拐点（沉降速率最大值点）所对应的时间.通过以上分析可以发现，同样通过调整模型参数a、b、c、d值，可实现对不同类型沉降曲线的模拟.模型所反映出来的沉降量、沉降速率以及沉降加速度随时间的变化规律均与实际黄土高填方场地工后沉降监测过程中遇到的“S”形或“J”形沉降曲线的特征相符合.
图5 新模型Ⅱ的沉降速率和沉降加速度全程变化曲线Fig.5 Settlement velocity and acceleration curves of the new model Ⅱ
由式（1）、（4）可知，新模型Ⅰ、Ⅱ均为4参数非线性方程，很难采用解析法直接求解，故采用数值法求解.设有m组实测沉降数据样本 (,,···,)用于建模，由最小二乘法原理建立第i期的预测值sti与实测值之间的目标函数Q，如式（7），对目标函数求极小值即为对待定参数a、b、c、d的寻优过程.
式中：eti为第i期预测值与实测值之差，i= 1，2，…，m；
ti为第i期数据对应的时间.
采用Levenberg-Marquardt优化算法[18]对模型中的4个参数进行寻优.该方法是用模型函数对待估参数向量在其领域内做线性近似，利用泰勒展开，忽略二阶以上的导数项，将优化目标方程转化为线性最小二乘法问题进一步求解，它具有收敛速度快、适应性较强的特点，易于编程实现.本次利用MATLAB软件中成熟的非线性复杂模型参数估计求解功能，确定模型参数.当求解模型参数时，由软件随机自动给出初始值进行迭代运算，最终找出最优解，确定出模型参数a、b、c、d的值.
当采用回归参数模型进行沉降预测时，常会出现内拟合误差低而外推预测误差高，或者内拟合误差高而外推预测误差低的情况.因此，需要从内拟合误差和外推预测误差两方面综合评价模型的预测效果.
5.1 内拟合误差的评价方法
本次对模型拟合效果的评价指标为决定系数（R2），R2可采用式（8）计算.R2越接近于1，则表明实测数据通过模型的解释性就越强.
5.2 外推预测误差的评价方法
对模型预测效果的评价指标为平均绝对百分比误差（MAPE，MAPE）、平均预测误差（MFE，MFE），分别采用式（9）、式（10）计算.MAPE能够较好地衡量模型的预测精度，其值越小精度越高，当MAPE＜10%时，是一个比较好的预测模型[19]；
MFE能较好体现模型的无偏性（如预测值相对于实测值的正负偏差）.
本次为了综合评价模型的预测效果，将已知沉降数据分为前后两部分，若实测数据共n期，前一部分m期数据来识别和估计模型参数，后一部分(n−m)期数据来评价模型的外推预测效果.本次从前文所述工程Ⅰ、Ⅱ中共分别选取2个典型监测点的沉降数据，采用本文提出的两个新模型预测其工后沉降，检验模型的实际预测效果.
工程Ⅰ中典型监测点JC6、T13的工后沉降曲线呈“J”形，其中监测点JC6观测历时642 d，共有32期实测数据，将实测数据分为前22期和后10期，利用前22期实测数据求解模型参数，然后采用向后预测的10期数据（外推预测时长/总数据时长 =49.5%）与后10期实测数据比较，检验模型的预测效果.监测点T13观测历时1366 d，共有70期实测数据，将实测数据分为前60期和后10期，利用前60期实测数据求解模型参数，然后采用向后预测的10期数据（外推预测时长/总数据时长 = 23.6%）与后10期实测数据比较，检验模型的预测效果.
工程Ⅱ中典型监测点S1、S2的工后沉降曲线呈“S”形，两个监测点观测历时712 d，均有32期实测数据，将实测数据分为前22期和后10期，利用前22期实测数据求解模型参数，然后采用向后预测的10期数据（外推预测时长/总数据时长 = 75.6%）与后10期实测数据比较检验模型的预测效果.两种新模型的回归模型参数及预测效果评价指标结果如表1所示.
表1 新模型的回归模型参数及预测效果评价结果Tab.1 Regression parameters and evaluation results of the new models
6.1 新模型对“J”形沉降曲线的预测效果
采用新模型对工程场地Ⅰ中典型监测点JC6、T13进行拟合及预测，沉降曲线如图6所示.表1中MFE计算值结合图6可知：新模型Ⅰ的预测值较实测值总体呈偏高（正偏差）趋势，新模型Ⅱ的预测值较实测值总体呈偏低（负偏差）趋势；
根据检验数据计算获得监测点JC6、T13后10期工后沉降预测结果的MAPE值，其中新模型Ⅰ分别为4.2%和1.2%，新模型Ⅱ分别为1.9%和0.7%，表明两种新模型的预测精度均较高，此时新模型Ⅰ对“J”形沉降曲线的预测精度低于新模型Ⅱ；
在检验数据区段内，绝大多数实测值基本处于两种新模型预测曲线包络带范围内.因此，可通过新模型Ⅰ和新模型Ⅱ来预测未来沉降区间.
图6 采用新模型进行拟合及预测的沉降曲线（工程Ⅰ）Fig.6 Settlement curves fitted and predicted by the new models （ project Ⅰ）
6.2 新模型对“S”形沉降曲线的预测效果
新模型对监测点S1、S2的拟合及预测曲线如图7所示.表1中MFE结合图7可知：新模型Ⅰ的预测值较实测值总体呈正偏差（偏高），新模型Ⅱ的预测值较实测值总体呈负偏差（偏低）.由表1可知，监测点S1、S2后10期工后沉降预测值的MAPE值，当采用新模型Ⅰ时分别为3.5%和4.6%，采用新模型Ⅱ时分别为11.2%和6.2%，表明两种新模型对该类沉降曲线的预测精度均较高，此时新模型Ⅰ对“S”形沉降曲线的预测精度总体高于新模型Ⅱ.
图7 采用新模型进行拟合及预测的沉降曲线（工程Ⅱ）Fig.7 Settlement curves fitted and predicted by the new models （ project Ⅱ）
6.3 新模型与传统回归参数模型的预测效果比较
在传统回归参数模型中，双曲线模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、平方根函数模型和星野法等较适合预测“J”形曲线；
Weibull模型、Morgan-Mercer-Flodin （MMF）模型、改进Knothe模型、邓英尔模型、Logistic模型、Gompertz模型、Usher模型、Spillman模型及Janoschek模型等较适合预测“S”形曲线.采用本文提出的两种新模型及传统回归参数模型分别对具有“J”形（监测点JC6）及“S”形（监测点S2）曲线特征的沉降数据进行建模和外推预测后，得到各模型的拟合与预测曲线如图8所示，文中所列的传统回归参数模型出现了收敛过早或发散严重的问题.在图8（a）中：新模型Ⅰ的R2= 1.000，MAPE = 4.2%；
新模型Ⅱ的R2= 0.999，MAPE = 1.9%；
传统回归参数模型R2的变化范围为0.951 ～ 0.999，MAPE的变化范围为6.0% ～ 12.2%.新模型Ⅰ、新模型Ⅱ相较于传统预测模型的外推预测误差分别降低了30.0% ～ 65.6%和68.3% ～ 84.4%.在图8（b）中：新模型Ⅰ的R2= 0.998，MAPE = 4.6%；
新模型Ⅱ的R2= 0.998，MAPE = 6.2%；
传统回归参数模型R2的变化范围为0.990 ～ 0.998，MAPE的变化范围为7.5% ～ 38.0%.新模型Ⅰ、新模型Ⅱ相较于传统预测模型的外推预测误差分别降低了78.7% ～95.8%和17.3% ～ 83.7%.由以上分析可知，两种新模型与传统回归参数模型对“J”形和“S”形沉降曲线的拟合精度指标R2相差不大，但两种新模型的预测精度指标MAPE均明显小于传统回归参数模型，表明两种新模型的工后沉降预测精度明显优于文中所列的传统回归参数模型，且具有较强的适用性和稳定性.
图8 新模型与传统模型的工后沉降拟合与预测曲线Fig.8 Fitting and prediction curves of post-construction settlement between the new models and some other conventional models
本文在分析典型黄土高填方场地工后沉降数据特点、曲线特征和发展演化规律后，提出了发散型和收敛型两种回归参数预测新模型，并对模型的预测效果进行了工程实例分析和检验，主要结论如下：
1）黄土高填方场地工后实测沉降曲线的几何形态主要为“J”形和“S”形两类，以“J”形曲线为主，代表“S”形沉降曲线“发生阶段”的“初始沉降阶段”在全过程沉降曲线所占时间很短.
2）对模型预测效果评价时，建议将已知实测数据分为前后两部分，分别检验拟合精度和外推预测精度.拟合精度可采用决定系数评价，外推预测精度可采用平均绝对百分比误差和平均预测误差综合评价.
3）两种新模型均能较好地反映“J”形和“S”形两类工后沉降曲线的变化规律，表明新模型具有较好的适应性和通用性，其中发散型模型对“S”形沉降曲线的预测效果较好，收敛型模型对“J”形沉降曲线的预测效果较好.
4）两种新模型对实测数据均具有较高的拟合精度，其中发散型新模型的预测值较实测值总体呈偏高趋势，收敛型新模型的预测值较实测值总体呈偏低趋势，用于模型检验的实测值多分布于由两新模型预测曲线构成的包络带范围内.
5）两种新模型未考虑黄土湿陷变形的影响，主要反映压缩变形和蠕变变形的长期发展趋势，在一定程度上克服了传统回归参数模型收敛过早或发散严重的问题，在黄土高填方场地工后沉降预测的适用性、稳定性和准确性等方面，明显优于文中所列的传统回归参数模型，具有较好的工程实用价值.
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