杜珍珍，杨春尧，周 同，段 峰
(1.铜陵职业技术学院 基础部，安徽 铜陵 244000;2.成都卫士通信息产业股份有限公司，成都 610041)
接触式轮廓仪是对物体的轮廓、二维尺寸、二维位移进行测试与检验的仪器，是一种两坐标测量仪器[1](见图1)，由工作平台、夹具、被测工件、探针、传感器和伺服驱动等部件组成[2](见图2)。
图1 某种型号的接触式轮廓仪
图2 接触式轮廓仪组成
接触式轮廓仪是通过将待测物体的表面滑过探针以获取表面轮廓参数-工件的特征数据[3](见图3和图4)。例如：1)直线段特征。起止点、长度、倾角、人字形顶高；
2)弧线段特征。圆弧(圆弧半径、圆心坐标、弧长等)、幂弧(方程、起止点、顶高、弧长等)、最速曲线弧(方程、起止点、参数、弧长等)、对数曲线弧(方程、起止点、参数、弧长等)；
3)其他特征：相邻两圆弧圆心间的距离、直线与弧的切点坐标、槽深、槽宽、凹槽深度、凹槽宽度、凹槽曲率半径、凹槽余量、凹槽中心距离等。
图3 接触式轮廓仪探针工作
图4 接触式轮廓仪测量
工件表面质量的好坏直接影响其使用寿命和使用性能，接触式轮廓仪是通过扫描工件轮廓来呈现工件轮廓线的仪器。工件表面是通过工件轮廓线来画像，所以工件轮廓线是工件制造精密性的主要参考指标，是工件表面质量的直接外现。故对工件轮廓线的精密测定十分必要而迫切，关于轮廓线的自动标注研究[4-6]就显得既有理论价值又有应用价值。
文中用2020年全国大学生数学建模竞赛赛题D的数据，分别就接触式轮廓仪对工件在水平状态和偏移状态下的两种情形建立相应的数学模型，并应用这些模型完整地标注工件轮廓线的各项特征数据。文中所用数据下载于全国大学生数学建模竞赛组委会网站，为附件1中的两个表格level和down，链接为http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/460baf68ab0ed0e1e557a0c79b1c4648.html。
1.1 模型建立的思想及准备
根据附件1中level表绘制工件1的轮廓线，如图5所示。
图5 附件1 level表对应的工件1轮廓线
标注出的轮廓线各项参数值如图6所示：槽口宽度(如x1,x3等)、圆弧半径(如r1,r2等)、圆心之间的距离(如c1,c2等)、圆弧的长度、水平线段的长度(如x2,x4等)、斜线线段的长度、斜线与水平线之间的夹角(如∠1，∠2等)和人字形线的高(z1)。
图6 轮廓线的各项参数值
由图5可知，轮廓线是由直线和圆弧构成的平面曲线，其中，直线和圆弧的组合有以下几种情形：1)水平直线段一般有多条，图5中有9条；
2)斜线段一般也有多条，图5中有8条；
3)圆弧有关于铅垂线对称的(图5中有4个)，也有关于铅垂线不对称的(图5中有3个)。
3个基本图形可组合为：1)斜线段与圆弧组合，图5中这样的组合有3个；
2)人字形，即斜率互为相反数的斜线段的组合，图5中有1个。
1.2 模型的建立及求解
1.2.1 水平线段的方程
1)假设。根据题意及对水平线数据的分析，提出如下假设：9条水平线段位于同一条直线上。
2)水平直线方程的确定。首先从观测数据中截取需要的数据[7-8]。在9条水平线段上分别截取中间较大一段，获得相应的z值，得到9组z值；
图7中第一条水平线段取x值情况：46.989 4≤x≤49.435 4，对应的z值范围为-1.768 8≤z≤-1.768 2。
图7 第1条斜线段数据截取
设9组数据z值构成的数据集S={zk|k=1,2,…,9}。
设水平线方程为z=z0，其中，z0为待定参数。建立关于z0的无约束优化模型
(1)
应用Matlab中fminunc命令求解得到z0=-1.773 684 378 898 429。
故水平线的方程z=z0=-1.773 684 378 898 429。
1.2.2 斜线段与圆弧的组合
下文详细介绍第一个曲线组合方程，将其作为一个整体建模及求解过程[9-11]。
在斜线段上分别截取中间较大一段获得相应的数据用作直线拟合。图7示意了第1条斜线段x的取值范围：49.762 366≤x≤50.789 305。共截取样本N=5 854个，即数据集含5 854组(x,z)值。
斜线段数据截取结果如表1所示。
表1 斜线段数据截取结果 mm
1)待定参数。
由图5可知，该曲线组合中有待定参数为左直线段：斜率k1和截距b1；
与水平线的交点(x1,z0)；
与圆弧的切点(x2,z2)。右直线段：斜率k2和截距b2；
与圆弧的切点(x3,z3)；
与水平线的交点(x4,z0)。圆弧：半径r；
圆心(x5,z5)。总结起来，这样的曲线组合含有13个待定参数。
2)在x1≤x≤x2上是左直线：z=k1x+b1；
在x3≤x≤x4上是右直线：z=k2x+b2；
在x2≤x≤x3上是圆弧：(x-x5)2+(z-z5)2=r2。
根据圆弧的特点，方程可显化为
(2)
目标函数：残差平方和RSS最小，即
(3)
约束条件：为了保证曲线光滑，则直线和圆弧必须满足下述条件：切点在直线上，得z2=k1x2+b1且z3=k2x3+b2；
切点在圆弧上，得(x2-x5)2+(z2-z5)2=r2且(x3-x5)2+(z3-z5)2=r2。
由圆弧方程易得圆弧切线斜率为
(4)
圆弧在切点(x2,z2)和(x3,z3)处斜率为
(5)
同理有
x3+k2z3-x5-k2z5=0.
(6)
综上所述，得到优化模型为
(7)
3)模型求解。
注意到上述优化模型并非一般意义上的优化模型，因为目标函数中有动态下标n1，n2。所以采取以下算法：一方面对n1，n2进行暴力搜索，另一方面当搜索中取定n1,n2时，应用Matlab有约束优化问题求解命令fmincon进行求解。求解结果如表2所示。
表2 线弧组合1求解结果
4)其他2个组合的求解结果如表3、表4所示。
表3 线弧组合2求解结果
表4 线弧组合3求解结果
1.2.3 折线段
由图5可知，工件1轮廓线上有一个折线段。在附件1的level数据集中用前述方法分别截取左、右斜线段的数据，然后应用excel对所截取的数据进行直线拟合——插入—散点图—添加趋势线，得到方程如表5所示。
表5 折线段的方程及拟合优度
1.2.4 圆弧方程
首先用同样的方法截取数据；
再以圆心、半径为待定参数，应用Matlab进行曲线拟合[12]；
最后得到圆弧的方程，如表6所示。
表6 圆弧的圆心与半径
1.3 结论
1.3.1 求出所有与水平线的交点(仅给出横坐标)
1)第一组曲线(直线与圆弧的组合)与水平线的交点分别为49.775、52.628、57.661、59.688、64.73、66.774。
2)折线与水平线的交点分别为71.99、82.367。
折线的顶点(两条斜线段的交点)为(77.186,-0.736 01)。
3)圆弧与水平线的交点如表7所示。
表7 圆弧与水平线的交点
16个交点如图8所示。
图8 与水平线的交点
1.3.2 所求各量的结果
1)槽口宽度x值如表8所示。
表8 槽口宽度x值
2)角、半径、c值、线段长度和圆弧长度(自左至右)各项取值如表9所示。
表9 角、半径、c值、线段长度和圆弧长度各项取值
3)人字形高度z1=1.037 67。
1.3.3 小结
依据轮廓仪就工件1在水平状态下的观测数据对轮廓线的特征值进行标注。首先对工件1在水平状态下的观测数据进行分析，通过绘制轮廓线的示意图建立轮廓线上各线段及圆弧的数学模型。然后根据附件1 level表应用excel的线性拟合功能及Matlab的非线性拟合功能求解这些数学模型。最后应用所求数学模型，完整地标注了工件1轮廓线的槽口宽度、圆弧半径、圆心之间距离、圆弧的长度等特征数据。
2.1 模型建立的思想和准备
根据附件1中down数据，做出工件1在倾斜和平移下的轮廓线，如图9所示。
图9 工件1在倾斜和平移下的轮廓线
由图9可知，工件1在轮廓仪测量[13-14]时明显地发生了倾斜和平移,作出如下假设:1)工件1是刚性的，即形状不会发生变化，从而其长度是不变化的。2)通过对表level和down中数据的横坐标x的分析(见表10)，x在两表中的最小值变化比最大值的变化大，所以工件1的位置变化在坐标系下可按下面进行分解：首先向右平移，然后以右端点为旋转基点(旋转中心)沿逆时针方向旋转，最后沿z轴方向平移。
表10 level和down中数据的横坐标x的分析
2.2 模型的建立及求解
2.2.1 工件1位置变化
图10 工件1发生倾斜和平移过程
在上述假设下工件1发生倾斜和平移过程如图10所示。其中,水平平移尺度、垂直平移尺度、倾斜尺度等如图11所示。
图11 水平平移尺度、垂直平移尺度、倾斜尺度偏移
2.2.2 倾角的求解
1)工件1的长度。根据表10所示，工件1的长度由level中的数据计算得l=71.528 09。
2)倾斜导致工件1在水平方向长度减少量。根据图11右上角工件的最终位置和表10计算数据得到Δx=0.623 415。
3)倾角的大小。根据图11右上角工件的最终位置得到倾角计算公式为
(8)
2.2.3 斜线方程
1)斜率。
由于夹角θ已经求出，根据图11右上角工件的位置，得斜率为
k=-tanθ=-tan 7.570 1=-0.132 9.
(9)
2)截距。
设斜线方程z=kx+b，为了求得恰当的b值，根据down中数据所绘制的轮廓线，从9条水平线倾斜后的斜线段对应的表中数据随机提取多组(x，z)值(包括首尾两个点)，然后取平均值得到其结果为b=7.961， 所以斜线方程为
z=-0.132 9x+7.961.
(10)
2.2.4 数据水平校正
1)校正方法。
数据变化是由倾斜和平移引起的，即是由斜线方程式(10)引起的，所以校正方法就是将引起变化的因素剔除掉，但这种剔除并非简单地从观测值中减去斜线值，即
z校正值=z观测值-z斜线值.
(11)
而是要保证校正数据符合工件的刚性特征[15-16]：不膨胀、不压缩。而式(11)的校正方法不能保证这一点。为了让文中采用的校正方法易于理解，给出校正方法如图12所示。
图12 校正方法
①假设点Q是工件的不动点，校正方法就是以点Q为中心的逆时针旋转：将点P旋转到点R。
②实现算法。直接给出校正算法计算公式
(12)
式中：(x1，z1)为观测值；
d为x1对应的斜线上点到点Q的距离。
2)校正结果。校正结果如表11所示。
表11 校正结果
校正结果轮廓线(上方)与level数据轮廓线的对比如图13所示。
图13 校正结果轮廓线与level数据轮廓线的对比
2.3 结论
应用水平校正数据计算第一节中各项，计算过程与第一节相同，在此不再赘述而直接给出计算结果。
1)校正后槽口宽度x值如表12所示。
表12 校正后槽口宽度x值
2)校正后角、半径、c值、线段长度和圆弧长度(自左至右)各值如表13所示。
表13 校正后角、半径、c值、线段长度和圆弧长度各值
3)人字形高度z1=1.035 6。
4)小结。
本节依据轮廓仪就工件1在偏移状态下的数据对轮廓线的特征值进行标注。工件位置发生偏移主要是指工件发生平移或倾斜。首先建立了坐标刚性变换模型，将偏移坐标校正为水平坐标；
然后借鉴第一节的标注方法，当工件1位置发生偏移时对其轮廓线特征数据进行标注，得到了槽口宽度、圆弧半径、圆心之间距离、圆弧的长度等特征数据。
选水平状态下的槽口宽度(见表8)及偏移状态下的槽口宽度(见表12)来比较它们之间的可容错差异，其它特征数据可作类似比较，在此不再赘述。
偏差率是指实际值与理论值或估计值偏差的程度，用于表征营业业绩、实验效果、工程进度等落实情况。偏差率可以用来说明两种状态下轮廓线特征数据的可容错差异，偏差率计算公式为
(13)
在此把水平状态下的槽口宽度值作为参考，记为理论值；
偏移状态下的槽口宽度值作为对照，记为实际值，算出的偏差率如表14所示。
由表14中偏差率可知，偏差率接近于0，属于合理范围，可得这两种状态下轮廓线的槽口宽度是有随机可容错差异的。
表14 两种状态下轮廓线槽口宽度的偏差率
文中依据接触式轮廓仪就工件在水平状态和偏移状态下的观测数据建立了相应的数学模型，并应用这些模型，完整地标注了工件轮廓线的各项特征数据。通过比较两种测量状态下轮廓线的各项特征数据，发现他们之间有随机的可容错差异。文中给出的两种状态下轮廓线数据模型能有效实现直线段、斜线段以及圆弧等工件轮廓线的自动标注，为机械工件的测量带来一定的参考价值。工件在水平观测数据缺失的情况下依据其各种偏移状态下的整体观测数据来完成对工件轮廓线特征数据的标注是后续研究的工作。
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