随岁寒，谢文龙，刘金建
(1.商丘工学院 机械工程学院，河南 商丘 476000；
2.无锡金元启信息技术科技有限公司，江苏 无锡 214000)
功能梯度材料(functionally graded material, FGM)是一种由两种或两种以上结构和性能逐渐变化的材料组成的非均质复合材料，它具有消除应力集中、降低残余应力、提高连接强度等普通复合材料所不具备的优良特性。随着材料科学的快速发展，功能梯度材料板在航空航天、机械工程等领域已经得到广泛应用，学术界关于该材料板的振动问题也有了很多研究成果。Zhong等[1]研究了功能梯度压电矩形板的自由振动和强迫振动。Li等[2]基于修正耦合应力理论研究了功能梯度压电微板的静态弯曲和自由振动。Li等[3]、王平远等[4]研究了功能梯度纳米板的弯曲、屈曲和振动行为，发现除材料梯度参数外，材料的内秉特性参数和非局部参数对纳米板的振动也有重要影响。Jha等[5]提出了一种高阶剪切法向变形理论，用于分析功能梯度弹性、矩形简支板的自由振动。庞有卿等[6]基于高阶函数剪切变形板理论，研究了可移动简支边界条件下功能梯度石墨烯增强复合材料板的自由振动。蹇越傲等[7]基于经典板理论,研究了热载荷作用下功能梯度圆板的非线性动力问题。黄小林等[8]考虑黏弹性地基的影响，基于复合材料薄板理论研究了石墨烯增强功能梯度矩形薄板的自由振动和动力响应。包海军等[9]研究了功能梯度旋转圆板的热弹性自由振动。周平等[10]、刘旭等[11]研究了功能梯度轴对称圆板的自由振动，以及旋转功能梯度纳米环板在热环境中的振动频率。
值得注意的是，现有文献研究功能梯度板的弯曲及其振动问题，通常考虑板的形状为矩形、圆形或者圆环形，以便于建立直角坐标或者极坐标下的系统控制方程，借助解析法[1,5-6,10]、伽辽金法[8-9]和微分求积法[11]等进行数值求解。此外，也有学者利用有限元法研究功能梯度板的弯曲及振动问题，如Deepak等[12]利用ANSYS软件建模研究了功能梯度方形板的弯曲及自由振动，其建模方法为将板沿厚度方向划分为若干层，每层作为一个薄板取同一参数，各层材料参数不同，采用SHELL板单元离散。这一方式的不足在于，各层内部材料参数恒定且层间材料参数不连续，因而求解精度不高且效率低，不适合工程应用。
工程中加工及安装误差可能造成矩形板的相邻边不垂直，使得原设计的矩形板成为斜板，在这种情况下，上述数值求解方法将难以完成。等参单元具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布状态，同时也能很好地适应曲线边界和非正交的直线边界。因此，本研究采用8节点四边形等参单元离散求解域，利用虚功原理推导功能梯度斜板的质量矩阵和刚度矩阵。将本方法所得结果与ANSYS软件计算结果进行了对比，随后重点分析了梯度指数和斜角板固有振动的影响，验证了本方法精度更高。
考虑边长分别为a和b、厚度为h、斜角为α的功能梯度斜板，建立如图1所示坐标系。假设板的两表面分别为陶瓷和金属，则其弹性模量E和密度ρ可分别表示为
图1 四边简支功能梯度斜板
(1)
采用8节点四边形等参离散求解域，则单元广义坐标如下：
{d}=[w1φx1φy1…w8φx8φy8]T。
(2)
将局部坐标系下的斜板转化为自然坐标系下的方板(图2)：
图2 由局部坐标系到自然坐标系的几何形状转换
x=N1x1+N2x2+N3x3+N4x4+N5x5+N6x6+N7x7+N8x8，
y=N1y1+N2y2+N3y3+N4y4+N5y5+N6y6+N7y7+N8y8，
(3)
式中：Ni为形函数，是自然坐标的函数。根据等参元概念，构造单元中面上任一点的广义位移模式：
(4)
式中：N=[N10 0N20 0N30 0N40 0N50 0N60 0N70 0N80 0]；
P=[0N10 0N20 0N30 0N40 0N50 0N60 0N70 0N80]；
Q=[0 0N10 0N20 0N30 0N40 0N50 0N60 0N70 0N8]。
按照偏微分规则，形函数关于自然坐标的偏导数可表示为
(5)
(6)
将式(5)和式(6)整理成矩阵形式
(7)
(8)
根据Reissner-Mindlin板理论，位移场为
u(x，y，z)=-zφx，
(9)
v(x，y，z)=-zφy，
(10)
w(x，y，z)=-w。
(11)
根据位移场(9)至(11)，得到惯性力做功的变分为
(12)
ε=B{d}，
(13)
(14)
式中：κ为切变模量修正系数。将方程(14)简化为
σ=Dε。
(15)
结合式(13)和式(15)，得到应变能变分为
(16)
将式(12)和式(16)代入如下虚功原理表达式：
δU=δW，
(17)
进而得到系统有限元平衡方程
(18)
需要指出的是，质量矩阵M和刚度矩阵K需要结合式(8)利用高斯积分进行计算，并且这两个矩阵与斜角α和材料梯度指数k相关。
采用四边简支的边界条件，求解式(18)可得功能梯度斜板的各阶固有频率，计算所得物理参数见表1。
表1 物理参数
图3给出了ANSYS软件所得前4阶固有频率及其振型，计算参数为梯度指数k=0和斜角α=30°。由式(1)可知，当梯度指数k=0时代表板为均质陶瓷板；
当k=+∞时代表板为均质金属板，此时各阶振型与均质陶瓷板是类似的。为验证方法的有效性，利用本方法分别计算了k=0和k=+∞两种条件下的前4阶固有频率，并与ANSYS软件计算结果进行了对比。表2和表3分别为α=30°和α=15°两种情况下的对比数据。从表2可看出，对于均质金属板或者陶瓷板，各阶固有频率误差百分比相同，随着阶次的升高，误差略微增大，最大值为第4阶时的2.53%。对比表2和表3，当斜角α变小时，各阶固有频率的误差都有较大幅度降低，可见本方法对于小斜角板具备更高精度。
图3 ANSYS计算前4阶固有频率及其振型(k=0，α=30°)
表2 前4阶固有频率对比(α=30°)
表3 前4阶固有频率对比(α=15°)
图4和图5给出了α=30°和α=15°两种条件下前4阶固有频率随梯度指数的变化规律。随着梯度指数的增大，材料中的陶瓷含量逐渐降低，由于陶瓷的弹性模量约为金属的两倍，而密度则约为金属的一半，因而随着梯度指数的增大，各阶固有频率逐渐降低且降低幅度逐渐放缓。同时可以看到，在任意梯度指数下，α=30°时相对于α=15°时各阶固有频率更高。这是由于斜角越大，则板的面积越小、相对刚度越大，从而小面积对应着更高的固有频率。
图4 前4阶固有频率与梯度指数的关系(α=30°)
图5 前4阶固有频率与梯度指数的关系(α=15°)
本研究主要分析了功能梯度斜板的自由振动问题，采用8节点四边形等参单元离散求解域，利用虚功原理得到了单元质量矩阵和刚度矩阵，求解得到了系统前4阶固有频率，讨论了功能梯度板的斜角和梯度指数对固有频率的影响。结果表明，随着梯度指数的增大，陶瓷含量降低而金属含量升高，从而各阶固有频率逐渐降低且降低幅度逐渐放缓。斜角增大使板的刚度增大，进而各阶固有频率增大。均质材料条件下将本方法所得结果与ANSYS软件计算结果进行对比，显示出了良好的一致性。误差对比结果也表明，本方法对于小斜角板精度更高。
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