梁 雪， 陈 果
（苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009；
2.张家港市外国语学校，江苏 苏州 215699）
跳扩散模型已在信用风险建模中得到了广泛的应用。Zhou[1]在结构模型框架下用跳扩散方法对信用风险进行建模。Chen等[2]利用跳扩散过程证明了收益率溢价在结构模型与约化模型下的等价性。Xu等[3]利用跳扩散方法对脆弱期权进行定价。刘孔洁等[4]在超指数跳扩散模型下考虑了动态保护基金的定价问题。Ma等[5]在描述违约聚类时，提出了一种新的跳扩散模型来刻画企业的价值过程。Wang等[6]用跳扩散风险模型描述保险公司的财富过程。马尔可夫机制转换模型考虑了宏观经济环境的变化，在该模型中经济状态变量是用马尔可夫链来表示的，运用马尔可夫机制转换模型处理问题的优势在各种金融市场上得到了实证验证[7-10]。研究者将二维跳扩散模型推广到有马尔可夫机制转换的情形，在该模型中，假设市场将根据宏观经济状态的变化处于不同的状态。
在上述模型下，研究者考虑了信用衍生产品的定价问题。信用衍生产品是在违约事件发生时为持有人带来现金保护的金融产品。文中将重点关注抵押贷款信用违约互换（LCDS）合约的定价问题，这是市场上最重要的信用衍生产品之一，与标准的无担保信用违约互换（CDS）合约类似。LCDS合约和CDS合约有两种不同的条款：（1）LCDS合约的参考资产仅限于有担保贷款，而大多数CDS合约的参考资产是无担保债券；
（2）LCDS合约可以在到期日前取消，届时卖方不用向买方支付任何款项，而CDS合约在到期日前是不可以取消的。
由于LCDS合约是被设计用于杠杆贷款的，而不是债券或高级无担保贷款，因此，它是对传统CDS合约的补充完善。LCDS合约提供了在不使用现金市场的情况下，以高效和节约成本的方式建立担保贷款风险敞口的机会，那些由于监管限制而无法直接获得银团贷款的人对LCDS合约尤其感兴趣。由于LCDS合约在许多方面有与CDS合约相似的优势，因此LCDS市场迅速发展，且事实证明LCDS市场与CDS市场同样重要。
在文献中主要有两种对LCDS合约进行定价的方法：结构法和约化法[11-14]。与结构模型相比，约化模型更具灵活性和可操作性。文中将在约化模型下对LCDS合约进行定价，其中违约和取消强度遵循推广的二维跳扩散过程。
文章剩余部分结构如下：第1节建立二维马尔可夫机制转换跳扩散模型；
第2节给出LCDS合约的定价机制，并且在二维马尔可夫机制转换跳扩散模型下推导出LCDS合约的定价公式；
第3节给出数值结果；
第4节是结语。
考虑一个有限时间范围[0，T]内的连续时间模型，令{Ω，F，{F}0≤t≤T，P}是一个带过滤的完备概率空间，过滤{F}0≤t≤T满足通常条件，是风险中性概率测度。假设文中涉及的所有随机变量和随机过程均定义在上述概率空间上且均是FT-可测的。
令X={Xt，t≥0}是一个连续时间、有限状态的齐次不可约马尔可夫链，其转移强度矩阵为Q=[qij]i，j=1,2,…，N。记HX={HtX，t≥0}是马尔可夫链X生成的过滤。为不失一般性，用一组单位向量集ε={e1，e2，…，eN}表示马尔可夫链X的状态，其中ei=（0，…，0，1，0，…，0）T∈RN，符号“T”表示向量或矩阵的转置。马尔可夫链X刻画了随时间变化的经济因素，其不同的取值代表了不同的经济状态。Elliott[15]和Elliott等[16]提供了马尔可夫链的半鞅表示
其中M={Mt，t≥0}关于过滤HX是鞅。
考虑到无风险利率会受到经济环境的影响，定义无风险利率r={rt，t≥0}为
其中r=（r1，r2，…，rN）T∈RN，ri＞0，i=1，2，…，N，符号〈·，·〉表示向量间的内积，即对任意的x，y∈RN，〈x，y〉=
定义强度过程，λi={λti，t≥0}，i=1，2，其初始值为，其中j=1，2，…，N，且强度过程λi满足
其中漂移项ai＞0，扩散项σ1（t）和σ2（t）满足
其中σ1=（σ11，σ12，…，σ1N）T∈RN，σ2=（σ21，σ22，…，σ2N）T∈RN，σij＞0，i=1，2，j=1，2，…，N。W1={W1（t），t≥0}和W2={W2（t），t≥0}是相关系数为μ的两个标准布朗运动，且它们与其他随机变量独立。纯跳过程Ji={Jti，t≥0}，i=1，2，满足
其中Ni={Ni（t），t≥0}，i=1，2，3是Cox过程，且强度为
其中ρi=（ρ1i，ρ2i，…，ρNi）T∈RN，ρji＞0，i=1，2，3，j=1，2，…，N。
给定HX，假设，N1，N2和N3是相互独立的，且对i=1，2，假设跳尺度序列{Yji，j=1，2，…}是独立同分布的，其密度函数为fi（y），y∈（0，∞），且{Yj1，j=1，2，…}和{Yj2，j=1，2，…}是相互独立的。
由式（1）定义的强度过程是一个带马尔可夫机制转换的二维跳扩散过程。记二维马尔可夫过程λ=（λ1，λ2），其生成的过滤为Hλ={Htλ}0≤t≤T，Htλ=σ（λu，0≤u≤t）。记Ht=Htλ∨HtX，H={Ht}0≤t≤T。接下来，给出强度过程的拉普拉斯变换。
对任意li≥0，mi≤0，i=1，2，记
定理1对任意li≥0，mi≤0，i=1，2，有
其中
W1（t，T），W2（t，T），…，WN（t，T）满足下列关系式
其中
证明对每一i=1，2，…，N，记Vi（t，T，λt）＝V（t，T，ei，λt），
由于U（t，T，Xt，λt）是一个有界（H，P）-鞅，因此，有
由于λi的仿射形式，考虑式（9）的解的形式为
记W（t，T）＝（W1（t，T），W2（t，T），…，WN（t，T））T∈RN，其中Wi（t，T）=W（t，T，ei），i=1，2，…，N，则
将V（t，T，x，λ）和V（t，T，λ）的表达式代入式（9）得到
由于式（10）对每一λi和x=ei均成立，从而有
结合Ai（T，T）=mi，Wj（T，T）=1，求解式（11）和式（12）即可得到结论。
一份LCDS合约包含三个实体：参考实体、参考实体发行的抵押贷款的违约保护买方和违约保护卖方。假设一份LCDS合约的面值为“1”，到期日为T，参考实体的回收率为R，无风险折扣因子
为了买入信用保护，违约保护买方需要向违约保护卖方支付一定的保费，保费作为合约面值的百分比被称为互换溢价，假设互换溢价为κ（连续支付）。对LCDS合约进行定价需要考虑合约在到期日之前提前取消的可能性，即借款人提前还款。用一个H-条件马尔可夫链C={Ct，t≥0}刻画参考实体的状态，参考实体有“取消”、“存活”和“违约”三种状态，于是马尔可夫链C在有限状态空间K={C.，A.，D.}中取值，其中C.表示“取消”、A.表示“存活”、D.表示“违约”。假设C0=A.，即参考实体在t=0时刻处于“存活”状态。状态{C.，D.}是马尔可夫链C的吸收状态，因此，马尔可夫链C在t时刻的转移强度矩阵可以写成
其中λt1和λt2由式（1）给出，分别代表参考实体的取消强度和违约强度。
记参考实体的取消时间为τ1，违约时间为τ2，令Hti=1{τi≤t}，i=1，2，因此，有
由于C是一个H-条件马尔可夫链，τ1和τ2是H-条件独立的，因此，有
接下来，描述一下LCDS合约的现金流。违约保护买方自合约生效时起，在信用事件发生或到期日之前，向违约保护卖方支付一定的费用。有两种类型的信用事件：（1）参考实体在其担保贷款义务上出现违约；
（2）参考实体退出担保贷款市场。当第一种信用事件发生时，违约保护买方将停止向违约保护卖方支付保费，违约保护卖方向违约保护买方支付由于参考实体违约而给违约保护买方造成的信用损失1-R；
当第二种信用事件发生时，LCDS合约将被取消，任何一方都不需要进一步支付费用。
根据无套利原理，保费支付贴现到0时刻的价值应与违约赔偿贴现到0时刻的价值相等，于是，有
因此
命题1一份无交易对手风险的LCDS合约的互换溢价κ有如下表达式
其中A1（0，t），A2（0，t），W1（0，t），W2（0，t），…，WN（0，t），由式（6-8）给出，mi，li，i=1，2分别取0，1。
证明保费支付贴现到0时刻的期望值为
利用定理1，有
其中A1（0，t）和A2（0，t）由式（6）给出，mi，li，i=1，2分别取0，1。
违约赔偿贴现到0时刻的期望值为
利用定理1并对式（4）的两边关于m2求微分，得到
其中W1（0，t），W2（0，t），…，WN（0，t）由式（7）给出。
将式（18）和（20）代入式（16）即得到结论。
该节将对LCDS合约的互换溢价进行一些数值分析以说明文中的理论结果。
为了便于说明，文中仅考虑N=2的情况，也就是说，马尔可夫链X的状态空间为{e1=（1，0）T，e2=（0，1）T}，
其中e1=（1，0）T代表好的经济状态，e2=（0，1）T代表不好的经济状态。因此，马尔可夫链X的转移强度矩阵为
其中q11＞0，q22＞0，1/q11表示马尔可夫链X处于好的经济状态的平均时间，1/q22表示马尔可夫链X处于不好的经济状态的平均时间。
假设R=0.4，q11=q22=0.5，r=（0.05，0.01）T，λ¯i=（0.005，0.008）T，ρi=（1，2）T，σi=（0.2，0.5）T，ai=a=1，i=1，2，其他可调参数值分别为
图1和图2展示了参数变化对互换溢价κ产生的影响。图1和图2显示κ值随着到期日T的增大而增大。从图1可以看出，当X0=e2时，κ值更大，这与实际情况是一致的：在不好的经济状态下，公司的违约概率通常较高，因此较大的互换溢价更为合理。从图2可以看出，当α较大时，κ值更小，这是因为随着α的增大，跳扩散过程的值变小。
图1 不同X0下互换溢价κ与T的关系
图2 不同α下互换溢价κ与T的关系
在约化模型框架下，建立了带机制转换的二维马尔可夫跳扩散模型，并利用该模型对LCDS合约进行了定价，其中违约和取消强度遵循推广的二维跳扩散过程，利用鞅方法得到了LCDS合约的显式定价公式并做了数值分析，数值结果显式经济环境因素会对LCDS合约的互换溢价产生影响，应将它纳入定价中。
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