郑行昌，高 林
(青岛科技大学自动化与电子工程学院，青岛 266000)
作为一种新型节能电机，永磁同步电机具有效率高、体积小、功率因数高、抗过载能力强等优点，目前已经在直驱风力发电、升降机驱动等大功率系统以及数控机床、电动舵机等高性能应用场合取得了广泛关注和应用[1-2]。实现最大效率控制是诸多工业应用领域中最受关注的设计目标之一，为了更好的提高效率，减小电机损耗，获得性能优良的控制效果，大多采用最大转矩比控制(maxi-mum torque perampere，MTPA)。
为了提高MTPA控制性能和运行可靠性，获得最优的电流矢量，必须建立电机运行参数的精确数学模型[3-7]，同时在线辨识电感等运行参数，进行实时轨迹跟踪。目前常用的电感参数辨识方法主要有递推最小二乘法、模型参考自适应、扩展卡尔曼滤波器、神经网络等。李玮等[8]在最大转矩电流比的控制基础上，考虑电感的饱和效应，采用了查表法减小了参数变化对电机性能的影响，提高了MTPA的控制性能。但是电机的真实运行参数会受到铁耗的影响，而且为了实现对电机的实时检测与控制，对参数进行在线辨识更能够满足要求。黄济文等[9]采用最小二乘法进行在线参数辨识，但在运算过程中需要用到以前的数据，对系统硬件要求偏高。金宁治等[10]采用了模型参考自适应算法，较好的实现了q轴电感，永磁体磁链的参数辨识，但文中没有铁耗及饱和效应对电感值带来的影响。此外还有学者用神经网络和卡尔曼滤波算法进行辨识，但是计算量大，且智能算法的结果具有不确定性。
所以，为了实现对永磁同步电机的高效准确控制，解决电机运行过程中参数变化对控制性能的影响，需要一种切实有效的适用于MTPA 控制的在线参数辨识方法。本文提出了一种综合考虑磁路饱和及铁耗的电机运行参数的精确数学模型。在此基础上对模型参考自适应算法(MRSA)进行优化，达到实时更新定子电流的工作点，获得最优的MTPA控制。最后通过仿真分析，验证了所提出的精确模型能够更准确地描述电机在运行中的参数变化，减小了电感参数变化对MTPA控制的影响，实现了高精度的MTPA轨迹跟踪。
永磁同步电机d-q两相旋转坐标系下方程为[11]：
电压方程：
(1)
式中，Rs为定子电阻；
id、iq为d-q轴定子电流；
Ud、Uq为d-q轴定子电压；
φd、φq为d-q轴定子磁链；
ωe为转子的角速度。
磁链方程：
(2)
式中，φf为永磁体磁链；
Ld、Lq为d-q轴电感。
转矩方程：
(3)
式中，np为极对数。
由式(3)可知，由于d轴电感和q轴电感不相同，内置式永磁同步电机转矩方程，包含永磁转矩和磁阻转矩。当id=0时，忽略了磁阻转矩的作用，在相同的电磁转矩下定子电流不是最小的。当采用最大转矩比控制时，能够提高转矩密度，在相同的电磁转矩下定子电流最小，降低损耗，提高控制效率。采用最大转矩比控制时，相同转矩下定子电流最小，问题可以等效于极值问题。
(4)
式中，is为定子电流矢量的模值。
对式(3)和式(4)构造拉格朗日函数可得：
(5)
(6)
求解式(6)，可得：
(7)
将式(7)带入式(3)得到：
(8)
由式(7)和式(8)可得到永磁同步电机MTPA控制方法的直交轴电流给定值。且电感和永磁体磁链的变化会影响给定值的大小。因此为了获得更精确MTPA轨迹跟踪，应该考虑运行参数的变化。
2.1 考虑磁路饱和对模型的修正
磁路一般是由铁磁质材料做的，受电流的影响较大，磁导率曲线不是一条直线。在饱和前磁通密度B与电流成正比；
达到饱和点以后，磁通密度B增加的幅度会相对减缓，磁通密度B随电流非线性变化。永磁体产生的磁通Φ与磁通密度B成正比关系φf(id,iq)。电感Ld、Lq与磁导率有关，在考虑饱和时，电感为电流的非线性函数，即Ld(id,iq)、Lq(id,iq)。故考虑磁路饱和时的修正方程为：
电压方程：
(9)
磁链方程：
(10)
转矩方程：
(11)
2.2 考虑铁耗对模型的修正
根据经典的Bertotti铁耗分离模型，可以获得永磁同步电机的铁耗[12]：
(12)
式中，PFe为铁耗；
Kh、Ke、Kexc分别为磁滞损耗系数、涡流损耗系数和附加损耗系数；
f为频率；
Bm磁通密度幅值。由于铁耗在固定频率下为磁通密度的函数，而磁通密度会受到d-q电流的影响，因此铁耗为d-q轴电流的非线性函数。考虑电机铁耗时，用一个并联等效模型，等效电路如图1所示[13]。
(a) d轴等效电路 (b) q轴等效电路图1 虑铁耗模型的等效电路
图中，Ri为铁耗等效电阻；
idi、iqi为等效电阻电流；
idm、iqm为d-q轴电流的有功分量。
根据图1中的等效电路建立考虑铁耗的修正方程为：
电压方程：
(13)
电流方程：
(14)
转矩方程：
(15)
2.3 电感、永磁体、铁耗等效电阻的计算
通过Ansoft有限元分瞬态场法，得到d-q轴电流与铁耗、d-q轴磁链的非线性关系，仿真参数如表1所示。通常情况下，永磁体磁链的变化比d-q轴电感的变化小得多。为简化计算，在进行永磁体磁链的求解时只考虑q轴电流对磁链的影响，即当d轴电流为0，磁通量完全由永磁体磁链提供时[14]，永磁体磁链为：
表1 实验参数表
φf(iq)=φd(id=0,iq)
(16)
计算d-q轴电感可由式(17)得到[15]：
(17)
在铁耗模型中，等效电阻为：
(18)
式中，Eql为定子反电动势；
PFe为铁耗。对于Eql可以通过Ansoft有限元分析得到。通过计算得到永磁体磁链、d-q轴电感、铁耗等效电阻与d-q轴电流的非线性关系如图2所示。
(a) 永磁体磁链变化曲线 (b) 等效铁耗电阻变化曲线
图2a中可以看出，达到饱和后磁通密度增加缓慢，永磁体磁链随着电流的增大变化缓慢。从图2b中可以看出，铁耗在同频率下为磁通密度的函数，与电流非线性关系。从图2c中可以看出，d轴电感同时受磁路饱和及交叉饱和的影响。从图2d中可以看出，q轴电感相较于d轴电感更易饱和且更容易受到交叉饱和的影响。
3.1 确定参考模型和可变模型
由于受到磁路饱和及铁耗的影响，电机运行的参数会随着d-q轴电流的非线性变化。通过电机参数的在线辨识，能够使得MTPA控制更加精确。由于待辨识的参数有d轴电感、q轴电感和永磁体磁链，为了解决MRAS系统的欠秩问题，保证所辨识参数的精确度与收敛性，只进行两参数的辨识。通过有限元分析，考虑磁路饱和及铁耗时，永磁体磁链变化不大，因此在参数辨识时只考虑d-q轴电感的影响。
对模型参考自适应的参考模型进行优化，将电机的精确模型作为参考模型，其状态空间方程为：
(19)
根据状态空间方程将电机的参考模型写为如下形式：
(20)
可调数学模型为：
(21)
则误差方程可表示为：
(22)
即可得到误差非线性时变反馈系统的方程为：
(23)
(24)
3.2 自适应律的设定
根据Popov超稳定性原理，若要使反馈系统保持稳定，那么其线性环节的系统传递函数H(s)=D(sI-A)-1需严格正实；
非线性反馈环节环节应满足Popov积分不等式，其系统原理框图如图3所示。
图3 非线性时变反馈系统
在系统原理框图中，D为线性定常前向回路的增益矩阵，为单位矩阵。若H(s)为正实函数，则应存在对称正定矩阵P和Q，使A满足：
ATP+PA=-Q
(25)
为了保证系统稳定的收敛，非线性回路需要满足Popov超稳定性理论，即：
(26)
将W带入上式中可得：
(27)
将式(27)进一步分解可得：
(28)
由Popov超稳定原理可知，式(28)都成立，则此非线性反馈系统保持稳定。在上述公式中，第二部分不含d-q轴电感耦合相，因此可以通过此部分推导出d-q轴电感的自适应律。即第二部分为：
(29)
可将式(29)分解为：
(30)
(31)
以PI形式设置相应的自适应律为：
(32)
(33)
将式(32)带入式(30)中可得：
(34)
将式(34)分解为两部分：
(35)
(36)
可通过不等式(37)证明上式成立，满足Popov稳定性的要求。
(37)
综上可得到改进的d轴电感比例积分形式的自适应定律：
(38)
同理可得到改进q轴电感比例积分形式的自适应定律：
(39)
式中，Ki1、Ki2、Kp1、Kp2为比例积分常数。
其中，Ld(idm,iqm)、Lq(idm,iqm)的参考值，通过精确模型中的查表模块获得，并将它们作为已知量，进行电感参数的在线辨识。
综合考虑磁路饱和及铁耗的影响，通过对传统数学模型的进行修正，进行精确模型的搭建，在精确模型中，参数与电流的非线性变化通过查表模块获得。其中原理框图如图4所示。通过修正的模型参考自适应算法进行电感的辨识，其中电感的参考值通过查表模块获得，并将辨识结果应用到MTPA控制中去，进行实时轨迹跟踪，寻找最优的电流工作点。控制系统如图5所示。
图4 精确模型的原理框图
图5 MPTA控制的原理框图
为验证该方法的准确性，对系统进行仿真分析，其中转动惯量为J=0.000 8 kg/m2，初始速度800 rad/s，负载20 Nm。
首先验证精确模型的真实性与准确性，如图6所示。
(a) 电角速度的变化曲线 (b) 转矩变化曲线
从图6中可以看出，由于受到磁路饱和及铁耗的影响，电感值在电机运行的暂态过程中不在为定值。电角速度的精确模型和传统模型在开始时均表现出不同程度的振荡，但精确模型振荡程度远小于传统模型。同时，精确模型表现出更优异的速度控制，在0.1 s达到稳定状态，而传统模型超调时间较长，在0.2 s进入稳定状态。同时，转矩的精确模型在运行初期出现多个峰值，这是由于综合考虑了磁路饱和及铁耗的影响，导致电机运行参数发生变化引起的。最终，两种模型都进入稳定状态。
接下来，通过电角速度和转矩变化曲线，验证了搭建模型的真实性和准确性，如图7和图8所示。
(a) d-q轴电流 (b) 转矩
(a) d-q轴电流 (b) 转矩
图7、图8分别给出了传统模型MTPA公式法和精确模型MTPA公式法的仿真曲线。从图中可以看出，传统模型MTPA控制系统的稳态三相定子电流小于精确模型，暂态时转矩的峰值大于精确模型。这是因为精确模型中考虑了磁路饱和的影响及铁耗的影响，电机参数发生变化，进一步证明了精确模型的准确度。
图9验证了电感参数的辨识度，从图中可以出，在控制系统中，由于磁路饱和及铁耗的影响，电感在电机运行中发生变化。从辨识结果来看，采用修正后的模型参考自适应方法，电感辨识程度高。
(a) 电感参数的实际值 (b) 电感参数的辨识值
图10、图11分别给出了传统公式法(电感取定值)和基于参数辨识的MTPA控制曲线。由于带有参数辨识精确模型的MTPA控制系统考虑铁耗和磁路饱和的影响，能够在线实时修正MTPA电流的工作点，控制更精确，在稳态和暂态时，三相电流值均小于传统公式法的MTPA控制策略。
(a) d-q轴电流 (b) 三相电流图10 精确模型传统公式法MTPA控制变化曲线
(a) d-q轴电流 (b) 三相电流图11 精确模型带有参数辨识的MTPA控制变化曲线
为了进一步的验证MTPA控制相对于id=0控制能够更大程度的降低损耗。图12给出了精确模型的id=0控制的变化曲线。从图中可以看出，采用MTPA控制策略，三相电流明显小于id=0控制策略，可以最大程度的降低损耗。
(a) d-q轴电流 (b) 三相电流图12 精确模型的id=0控制变化曲线
本文考虑参数变化对MTPA控制策略的影响，在永磁同步电机传统数学模型的基础上，综合考虑磁路饱和及铁耗对于参数的影响，建立精确数学模型。利用Ansoft有限元瞬态分析计算，获取d-q轴电感、永磁体磁链、铁耗等效电阻与d-q轴电流的非线性关系，在铁耗模型的基础上利用这些非线性离散参数建立精确数学模型。进行仿真分析，验证了该精确模型能够准确的反映电机的真实运行特性，以及验证该模型的正确性。接着在精确模型的基础上，设计带有参数辨识的MTPA方案，同时对模型参考自适应方法进行优化，获得考虑磁路饱和及铁耗的电感参数的辨识。仿真结果表明，优化后的参数辨识结果精度明显提高，同时带有参数辨识的MTPA控制方案能够考虑参数变化带来的影响，提高控制精度以及系统的鲁棒性。
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