基于贝叶斯压缩感知的子空间拟合离格DOA估计*

高卫港，王 鼎，张钺洋，李 恺，吕 静

(1.解放军信息工程大学 信息系统工程学院，郑州 450001；
2.中国人民解放军95851部队,上海 200137；
3.中国人民解放军61416部队，北京 100091)

基于阵列的方位估计问题是近几十年来信号处理的重要研究课题之一，不管是军用还是民用方面都展现了巨大的潜力[1-2]，如雷达、通信等。在传统的波达方向(Direction of Arrival,DOA)估计技术中，子空间类算法[3-5]因其高分辨性能受到了广泛的关注，代表性算法为MUSIC算法。然而，只有快拍数足够大时，子空间类算法才能保持高分辨性能，如果信号因多径等原因产生高度相关时，子空间类算法性能也不好。20世纪90年代出现的加权子空间拟合算法是一种参数化的DOA估计方法，原理简单且具有较高的精度，因在信号源相关时有良好的表现而备受关注[6-7]。

近年来，稀疏重构与压缩感知理论的相关研究使得DOA估计技术也得到了一定的发展[8-10]，大致分为两类：基于Lp范数[11]和稀疏贝叶斯学习[12-16]。已有文献研究表明，和基于Lp范数的算法相比，稀疏贝叶斯算法具有更小的收敛误差。另外，当来波信号相关性很高时，稀疏贝叶斯算法仍能保持不错的性能[17]。出色的DOA估计性能取决于一个假设，即信号的入射方向与预定义的空间网格完全重合，但这在实际中是不可能的，这就会导致网格失配问题。若减小网格间距，则会增大计算复杂度；
若加大网格间距，估计性能便会下降。目前，研究者提出了一些改进的方法来解决网格失配问题[18-21]：文献[18]采用一阶泰勒模型对真实的DOA进行线性逼近，提出了一种稀疏贝叶斯学习(Sparse Bayesian Learning,SBL)方法，有效解决了网格失配问题；
文献[19]利用样本协方差矩阵，进一步提出了改进的离格SBL方法来减小噪声方差对DOA估计的影响；
文献[20]通过使用相邻的两个网格点，提出了一种线性插值的方法对真实方向进行逼近；
针对文献[19-20]方法复杂度较高的问题，为了提高在粗网格情况下的精度，文献[21]提出了一种基于动态网格的求根SBL算法。

本文通过将来波信号的空域稀疏性引入加权子空间拟合算法中，建立离格模型以减小空域网格划分时引入的误差，利用稀疏贝叶斯压缩感知算法进行求解，提出了离格稀疏贝叶斯子空间拟合(Off-grid Sparse Bayesian Learning-weighted Subspace Fitting,OGSBL-WSF)波达方向估计算法。仿真结果表明，与传统算法以及非离格模型相比，本文算法具有更高的空间分辨率，且在信号相关时仍能保持良好的特性[22]。

本文假设有一L元均匀线阵并接收近似为平面波的M个窄带远场信号，其中M

y(t)=A(θ)s(t)+e(t),t=1,2,…,N。

(1)

式中：y(t)=[y1(t),y2(t),…,yL(t)]T；
θ=[θ1,θ2,…,θM]T；
s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T和e(t)=[e1(t),e2(t),…,eL(t)]T分别是第m个传感器在时间t时的输出与测量噪声，e(t)是与信号之间相互独立、服从高斯分布的白噪声；
A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θM)]包含了不同来波方向的信号的导向矢量，其中al(θm)中包含着第m个信号入射到第L个阵列与参考阵列之间的相位差信息。接收信号的协方差矩阵如下所示：

(2)

(3)

Us=A(θ)T。

(4)

由公式(3)根据信号子空间和噪声子空间的正交关系可以得到

(5)

即

(6)

(7)

但是，实际中由于阵列存在各种误差以及多径等因素的影响，信号子空间与阵列流型张成的子空间在严格意义上并不相等，所以式(7)并不成立。为了解决这个问题，可以构造一个最小二乘意义下的拟合关系：

(8)

在上式中关心的参数是θ，所以T对本文来讲仅仅是一个辅助变量，固定A便可以得到T的最小二乘解：

T=(AH(θ)A(θ))-1AH(θ)UsW=A+(θ)UsW。

(9)

将式(9)代入到式(8)中，可以得到

(10)

2.1 模型构造

本节将离格贝叶斯压缩感知引入到加权子空间拟合中，将信号子空间拟合问题建模为多测量值稀疏重构问题。因为噪声的存在，因此将式(4)中信号子空间与阵列流型构成的空间之间的关系重新定义为

(11)

a(θm)≈a(θnm)+b(θnm)(θm-θnm)。

(12)

(13)

(14)

与此同时，式(1)的观测模型也可以更改如下：

y(t)=Φ(β)s(t)+e(t)，t=1,2,…,N。

(15)

需要注意的是，当式(15)中β设置为0时，其与式(1)等价。实际上，本文采用的离格模型可以视为真实模型的一阶泰勒展开，而式(1)则可以认为是零阶展开。因此，离格模型的建模误差要小得多。这样带来的好处主要有以下两点：一是如果空域划分网格时采用的网格数相同，离格模型具有较高的精确度；
二是如果在相同的精确度情况下，离格模型可以采用较粗的采样网格，从而降低了运算的复杂度。

2.2 离格稀疏贝叶斯模型求解

2.2.1 稀疏贝叶斯公式

(1)噪声模型

前文中假设噪声是服从零均值高斯分布的，所以有

(16)

(17)

所以有

(18)

在本文中，假设噪声精度α0是未知的，并假设α0服从Gamma超先验，因为它是高斯分布的一个共轭先验：

p(α0;c,d)=Γ(α0|c,d) 。

(19)

(2)稀疏信号模型

(20)

(21)

(3)离格距离模型

本文中对β做一个均匀的先验假设：

(22)

β的先验分布只提供有界性，结合分层贝叶斯模型的两级，可以得到联合的概率密度函数为

(23)

上式中的右侧分别由式(18)、(20)、(21)、(19)、(22)给定。

2.2.2 基于离格模型的稀疏贝叶斯重构

(24)

式中：

(25)

Σ=(α0ΦHΦ+Λ-1)-1。

(26)

(27)

(28)

Tr{(A+Bdiag(β))Σ(A+Bdiag(β))H}=

βTPβ-2vTβ+C。

(29)

式中：C是与β相关独立的常数项；
P是一个半正定矩阵，

(30)

R{diag(BHAΣ)}。

(31)

式(29)中，β的更新公式为

(32)

(33)

算法步骤如下：

Step1 初始化参数α,α0,β。

Step2 根据α,α0,β,分别通过式(25)和式(26)计算μ和Σ。

Step3 利用μ和Σ，分别通过式(27)、式(28)和式(33)更新α,α0,β。

Step4 判断循环是否达到了停止条件(包括停止阈值和最大迭代次数)，若不满足，继续重复执行上述过程。

3.1 不同划分间隔对算法的影响

本节仿真中设置阵列为8元等距线阵，阵元间距是来波信号波长的一半。快拍数为200，信号的来波方向为[60.3° 88.6°]，信噪比为-6～12 dB，网格间隔分别为δ=1°，2°，3°。DOA估计的均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE)定义如下：

(34)

停止阈值τ=10-3，最大迭代次数为1 000。该算法对α0,α和β的初始值不敏感，在ρ的值不大的情况下，算法对ρ值也不敏感。仿真结果如图1～3所示。

图1 不同划分间隔时的空间谱图

图2 不同间隔时均方根误差随信噪比的变化

图3 不同角度间隔时运行时间

由图1～3可知，本文算法对方位估计有很好的效果，不过减小网格间隔仍然可以进一步得到比较高的分辨率，但是不可避免地会增加运算的复杂度。所以在实际中，网格间隔和运算复杂度也是需要仔细考虑权衡的一个参数，根据仿真实验折中考虑运算复杂度和测量精度。本文在后续实验中选择网格间隔δ=2°。

3.2 不同条件下的空间谱对比

将本文算法与MUSIC算法和文献[21]算法进行对比。入射角度为20.8°，快拍数为50，阵元数为10，阵元间距为半波长，在信噪比为-2～16 dB时，不同算法之间的测向精度，仿真结果如图4所示。

图4 不同算法均方根误差随信噪比的变化

采样间隔为1°～6°，以0.5°为步长，文献[21]算法与本文算法的仿真结果如图5所示。

图5 RootSBL与本文算法性能随采样间隔的变化

由图4和图5可知，相对于传统的子空间类测向算法，稀疏贝叶斯类算法测向精度实验更高。本文算法将子空间拟合引入贝叶斯压缩感知中，提高了对噪声的鲁棒性，在高信噪比时，测向精度与文献[21]算法精度相当，但是当采样间隔变大时，文献[21]算法依然能保持较高的精确度。子空间拟合技术在采样间隔这个指标上并没有带来相应的性能改善，这与子空间拟合技术所带来的优点是相符的。

3.3 相干信号对算法的影响

众所周知，在MUSIC算法中，当信号源之间相关时，会导致信号子空间维度小于信号源数，信号子空间“扩散”到了噪声子空间，导致子空间之间不完全正交，从而无法估计来波方向，但是基于压缩感知的算法则对相干信号源的方位估计有很好的性能。设置两个相干信源分别从[40.3° 68.6°]入射到阵列，信噪比设置为10 dB，快拍数设置为200，其余条件与上文相同，仿真结果如图6和图7所示。

图6 相干信号空间谱

图7 均方根误差随相关系数的变化

从图6可以看出，当信号相干时，MUSIC算法完全失效，其余两种算法出现了一定的误差，但是仍能指示信号的方向。由图7可知，当信号之间存在相关性时，各种算法的性能均会出现恶化，但本文算法仍具有一定的优势；
当信号完全相干时，算法的性能均会出现迅速下降。

本文通过在子空间拟合算法中引入稀疏贝叶斯压缩感知，将方位估计问题转化为对未知参数的估计，避免了进行多维非线性优化。同时采用了离格模型，减小了空域划分时间隔所带来的误差，使得模型更符合实际，方位估计精度进一步提高。

本文所提算法需要对空域进行划分来构建稀疏性，由于采用实际导向矢量的一阶泰勒展开的离格模型，所以在划分间隔分别为δ=1°，2°，3°时，测向精度都能得到保证，但是当划分间隔较密时，会导致运行时间变长。此外，本文算法具有一定的解相关能力，不过当信号之间完全相干时，算法会出现较大程度的恶化。

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