文/马一凡
与传统的自适应平衡系统相比较，双轮自平衡车的平衡系统复杂度和要求相对更高：既要控制车身平衡，也要实现对提速和转动方向的精准控制。基于此，本文以自适应PID 双轮自平衡车为研究对象，在简要概述PID 控制原理的基础上，采用拉格朗日方程法对其进行数学建模，并针对该数学建模进行详细的理论推导。
自适应PID 双轮自平衡车主要通过PID 控制器来实现轮式自适应载人运动，本质上仍属于机器人的范畴。同时，由于其搭载的是典型的非线性系统，兼备多变量、强耦合、欠驱动等特征，高效、稳定的控制器逐渐成为此领域的关注重点。考虑到数学建模是实现自适应PID 双轮自平衡车的关键算法，本文以拉格朗日方程法为核心构建了数学模型，并对该模型进行模糊化处理和线性化处理。
PID 是以控制偏差作为输入，对偏差进行比例、积分和微分控制的算法。[1]其中，P 代指比例系数，即输入偏差乘以一个常数后得出的比例；
I代指积分，即输入偏差进行积分运算；
D 代指微分，即对输入偏差进行微分运算。
比例调节是指，按一定比例快速缩小控制系统的偏差信号e(t)的过程。[2]理论上，偏差可以通过比例调节来消除，但在实际应用中，比例系数的取值很难一直保持理想状态。当取值偏小时，修正速度缓慢，双轮自平衡车易出现控制失灵、失稳等异常情况；
当取值偏大时，修正控制速度过快，即便双轮自平衡车处于正确位置，也会出现低频率抖动的情况。因此，为保证双轮自平衡车的平稳状态，技术人员应通过数学建模等方式，尽可能实现稳定控制。
微分调节是指，根据偏差信号的变化速度或趋势进行“超前调节”的过程。[3]当误差趋于增大时，技术人员可通过微分调节来提高系统反应速度，进而实现对误差的提前控制，以及优化系统动态性能。
积分调节则是从时间角度出发，对误差的积累进行调节的一种处理方式。[4]在此过程中，积分调节与误差并存，并且只有在误差全部消除后，积分调节才会停止。
在实际应用过程中，当系统状态突然变化或者设定值超出合理范围时，控制量很有可能突破系统正常运行的最大值。因此，本文针对性地制订了自适应PID 积分分离设计方案，旨在有效避免双轮自平衡车发生系统系数超标、车体抖动等情况。
在本研究中，PID 算法模型的控制方式是：设定双轮自平衡车的速度及活动角偏差阈值常量，再将其与系统偏差e(t)的绝对值相减。如果计算结果为正数，则由积分控制开关执行关闭指令。
此时，系统控制器为PD 控制器，输出控制量=比例项+微分项。如果计算结果为负数，那么系统控制器将转为PID 系统控制器。此时，输出控制量=比例项+微分项+积分项（见图1）。
当输入量为r(t)，输出量为y(t)时，偏差量e(t) 的计算公式如下：
根据式（1），PID 的控制规律u(x)可表述为：
式（2）中，Kp为比例系数；
T为积分的时间常量；
DT d为微分的时间常量，t为时间节点，e(t) 为时间节点t时的偏差量。
模糊自适应PID 算法在实际应用中更加灵活、稳定，尤其在被控对象的时变性和非线性较大时，其应用优势更为突出。由于双轮自平衡车的控制系统需要输出具体电压值以保障电机正常运行，本文采用重心法对模糊集合进行处理，以获取精确值。该处理过程即为反模糊运算过程，具体表达式如下。
式（3）中，ΔK 表示反模糊运算的最终输出值；
µAi(e)、µBi(ec)分别表示e（偏差）和ec（偏差的变化率）的隶属度；
zi表示对应隶属度函数的横坐标。其中，隶属度是指某变量在其模糊论域中，属于某模糊空间子集的程度，其函数表达式如式（4）所示。
式（4）中，x表示模糊集合的隶属度函数，U 表示模糊空间子集。并且，ϕµ(x)的值越接近1，则表明x隶属于U的程度越高。
（一）数字建模的前提条件及拉格朗日方程一般式
本文在保证双轮自平衡车系统的正常运行前提下，构建了双轮自平衡车系统数学模型。其间，笔者首先对可能产生的、相对复杂但允许产生误差的建模条件进行合理假设：在建模过程中，双轮自平衡车的车身与车的载体等效为一根刚性杠杆；
车身处于直立平衡状态时，其质心应位于双轮的正上方；
车体与地面之间只存在滚动摩擦。
拉格朗日方程的一般式如下：
式（5）中，T代表质点系的总动能；
iq˙表示质点系的坐标；
iQ表示系统沿第i 个坐标上的力；
n为系统的自由度。
在基于自适应PID 的双轮自平衡车的数学模型中，当n 为3 时，即表示该系统有3 个自由度，分别为车身绕X 轴产生前倾后俯、车身绕Z 轴的转动、沿Y 轴进行的前进后退。由于双轮自平衡车的总动能分为车身动能及车轮动能两种，且这两种动能又进一步被分为平动动能及转动动能，因此，本文基于此算法分别计算上述动能的值。
（二）双轮自平衡车系统动能算法
双轮自平衡车的总动能共包含四个部分，即车身与车轮的平动动能及转动动能。在计算动能前，笔者首先了解并明确了控制对象的速度信息。基于此，笔者根据双轮自平衡车前倾、转角控制及前进等三种运动状态，建立了对应的坐标体系，以便分解其速度（见图2）。
如图2（a）所示，v1=θtL为双轮自平衡车在前倾状态下的速度。同理可得，该双轮自平衡车在三个坐标轴方向上的速度分量分别如式（6）、式（7）、式（8）所示。
式中，τθ表示双轮自平衡车的车身倾角；
L 表示车身质心到轮轴的距离；
ϕ表示平衡车车身转角。
由图2（b）可知，当双轮自平衡车旋转时，线段OA=Lsinθt。因此，为双轮自平衡车在转角状态下速度的表达式。笔者分解坐标轴后，得到的两个速度分量分别如式（9）、式（10）所示。
上式中，为转角状态下车身转角大小。
随后，笔者结合图2（c）得到双轮自平衡车在前进或后退状态下的速度表达式：。同时，在该运动状态下，双轮自平衡车两个速度分量的表达式分别如式（11）、式（12）所示。
上式中，Vt、Vr分别代表双轮自平衡车左轮、右轮的速度，并且（R 为双轮自平衡车车轮半径；
分别表示当前运动状态下左轮及右轮的转角）。基于此，双轮自平衡车车身的平动速度可通过式（13）求得。
同时，双轮自平衡车车身的平动动能（T1）和转角动能（T2）可分别通过式（14）、式（15）求得；
车轮的平动动能（T3）和转角动能（T4）可分别通过式（16）、式（17）求得。
上式中，mb表示车身质量；
mw表示车轮质量；
Jw表示车轮绕轮轴的转动惯量；
Jϕ表示车轮绕Z 轴的转动惯量；
（D 为车轮间距）。
（三）构建数学模型
鉴于双轮自平衡车的总动能（T）为车身与车轮各项动能之和，故T=T1+T2+T3+T4，即：
随后，笔者对双轮自平衡车的相关受力进行分析，并进行如下计算。
上式中，考虑双轮在行驶过程中容易受到黏滞力、阻尼力的影响，笔者定义其中，Qiθ、Qlθ、Qrθ分别为双轮在三个坐标系上的广义力。随后，笔者将以上计算代入拉格朗日方程，进而得到双轮自平衡车系统的精确数学模型。
该系统在θl方向上的表达式为：
在θt方向上的表达式为：
在θr方向上的表达式为：
上式中，Ml/Mr为左/右轮电机转矩；
kl、kr为黏滞阻尼系数；
Jt为车身绕轮轴的转动惯量；
Jz为车身绕Z 轴的转动惯量；
Jw为车轮绕轮轴的转动惯量。式（22）、式（23）、式（24）共同组成了双轮自平衡车系统的精准数学模型。
经验证，本文建立的自适应PID 双轮自平衡车数学模型，对该类平衡车的快速反应、精准调控具有一定的参考意义。同时，在对该数学模型运用拉格朗日方程法后，本文初步实现了对双轮自平衡车多种运动状态的灵活控制。
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