钱 程，朱乐东，3，*，朱 青，3
(1.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092；
2.同济大学 土木工程学院 桥梁工程系，上海 200092；
3.同济大学 桥梁结构抗风技术交通行业重点实验室，上海 200092)
对于现代化大跨度桥梁，颤振是最危险的一类风致振动现象。目前广泛使用的颤振理论以Scanlan 线性自激力模型为基础，该理论将自激力表示为断面运动状态的线性函数，将桥梁颤振视为线性气动失稳现象[1-2]。线性理论认为当风速超过颤振临界风速时，线性气动负阻尼大于结构阻尼，桥梁断面的振幅随时间呈指数增加而出现颤振发散趋势。但是钝体桥梁断面、或者大风攻角或大振幅状态下的扁平箱梁断面，往往不会出现线性理论所预测的无限发散型颤振（硬颤振），而是出现被称为软颤振的非线性颤振现象[3]。
根据弯扭耦合程度的强弱，颤振可分为单自由度扭转颤振和弯扭耦合颤振。单自由度扭转颤振起振风速低，弯扭耦合程度弱，多发生于钝体断面，如双边肋断面[4-6]、H 型断面[7]、π 型断面[8-10]和半封闭箱梁断面[11]。弯扭耦合颤振起振风速高，弯扭耦合程度强，多发生于相对扁平断面，如扁平闭口箱梁断面[12-13]。除断面外形外，相对风攻角越大，附属设施越多，发生单自由度扭转颤振的可能性越大，而颤振的弯扭耦合程度一般随着折减风速的增加而增加[8,14]。
风洞试验和数值计算表明，对于不同断面或相同断面不同风攻角情况，颤振的非线性特性会呈现出多样性。有时只有在人工初始激励振幅大于临界振幅时，颤振才会发生，并最终为极限环振动状态。现有研究结果显示：有分叉特性的非线性颤振往往发生于相对扁平断面（如扁平矩形断面[15]、扁平闭口箱梁断面[16]）和桁架梁断面[17]，且多发生在高风速和大振幅条件下，弯扭耦合程度较强。然而，对于具有分叉特性的非线性颤振及其机理的研究目前还不多。
中央开槽断面是一种颤振临界风速较高的断面，被广泛用于超大跨度桥梁建设中[18-19]。对于超大跨度缆索承重桥梁，风的静力作用会导致主梁产生较大且沿桥跨方向不均匀分布的扭转变形，从而产生显著的附加攻角。张宏杰等[20]对1 400 m 主跨闭口箱梁斜拉桥方案的抗风稳定性研究结果显示，在-3°和3°初始风攻角下，主梁跨中的附加攻角可分别达-6°和5°，有效风攻角可分别达到-9°和8°，显然会对其颤振性能产生不利影响。因此有必要研究中央开槽断面在大攻角范围内的颤振非线性特性，全面深入地把握其颤振性能，提升超千米中央开槽断面主梁缆索承重桥梁的抗风设计水平。
为此，本文通过节段模型风洞试验对其中央开槽箱梁断面在±10°的大攻角范围内的颤振性能进行了研究，发现了发生于不同风攻角范围颤振的有/无分叉两种非线性特性，并通过分析对应的系统等效阻尼比随振幅的演化规律，对上述有/无分叉两种非线性特性的机理就行了探讨。
中央开槽箱梁断面如图1 所示，采用嘴尖偏下的风嘴气动布局方案，以便使桥梁的风致静力失稳临界风速稍高于颤振临界风速[21]。此外，为了控制涡激共振幅值，在下腹板内侧设置导流板，在桥面处设置风障。
图1 中央开槽箱梁示意图（单位：mm）Fig.1 Diagram of centrally-slotted box bridge deck (unit: mm)
节段模型的缩尺比为1 : 100，全长为1.740 m，宽度为0.537 m，高度为0.045 m，横梁中心间距为0.16 m。弹簧悬挂刚体节段模型测振试验在同济大学TJ-1 大气边界层风洞完成，节段模型试验的主要参数为：竖弯基频1.45 Hz，扭转基频3.86 Hz，竖弯阻尼比0.003，扭转阻尼比0.004，每延米竖弯质量6.565 kg/m，每延米转动惯性矩0.198 kg·m。
试验过程中，在模型两端设置端板（见图2（a）），以保证模型位于二维均匀流场中。为了保证弹簧系统和模型的相对位置不变，在试验中通过旋转风洞外转盘来调节风攻角，并且设置了沿桥面横向的细长金属丝（见图2（b））。该金属丝可以约束模型的横向位移，同时可以避免大攻角下重力作用引起的模型横向位移和弹簧轴线偏离桥面的垂向。通过外转盘设置初始攻角后，在平均风作用下，模型会产生随平均风速变化而变化的附加风攻角。在高风速和大初始风攻角下，附加风攻角甚至达到1°左右。考虑到自激力对风攻角的敏感性，为了确保不同风速下试验现象和自激力参数均对应相同的有效风攻角，在试验过程中采用朱乐东等[22]提出的“基于实施位移监控的反向旋转节段模型”方法来消除每级风速下的风致静力附加风攻角。
图2 节段模型风洞试验装置Fig.2 Segment model in the wind tunnel test
试验风攻角为0°、±3°、±5°、±6°、±8°、±10°、-1°、-2°和-4°，因为非线性颤振出现在负角度，所以设置更多负风攻角的工况。受风洞和弹簧悬挂节段模型的限制，本次试验最高折减风速为10.1，最大扭转振幅在8°左右。根据试验现象，将试验角度分为三类：第一类是负的大攻角（-5°～-10°），在此攻角范围，振动没有出现分叉，弯扭耦合非线性颤振无需初始激励就能从静力平衡位置自动起振；
第二类为负的小攻角（-3°和-4°），在该攻角范围，振动在一定风速范围内出现分叉，弯扭耦合非线性颤振需要在足够大的初始人工激励下才会发生；
第三类是10°～-2°，该角度范围内没有发生颤振。
2.1 无振动分叉的非线性颤振
当风攻角介于-5°和-10°之间时，该中央开槽断面均无需任何人工初始激励就能从静力平衡位置自动起振，并具有自限幅的特性。
作为一个典型示例，图3 给出了α0=-5°、U*=7.33 时节段模型非线性弯扭耦合颤振的扭转角位移（α）和竖向位移（h）的时程曲线，其中α0为风攻角，U*=U/fB为折减风速。从图中可以看到，当风速达到或超过颤振临界风速后，结构能够自动从静力平衡位置开始发散；
在颤振发展的前期，振幅增长率不断增大，当振幅达到一定值时，振幅包络线出现拐点，振幅增速达到最大，然后开始降低，并最终降到0，此时，颤振达到稳定的极限环振动状态。
图3 非线性颤振时的位移（α0=-5°,U∗=7.33）Fig.3 Displacement of the nonlinear flutter(α0=-5°,U∗=7.33)
从图3 还可以看到，弯扭耦合颤振的竖弯和扭转位移之间存在着较小的相位差，可以通过它们之间相图来体现（如图4 所示）。相图为椭圆意味着竖弯和扭转之间存在相位差，椭圆的面积是相位差大小的一个度量，它等于 πAhtAαt|sin(Δφt)|，其中Aht和Aαt分别为竖向和扭转位移振幅，Δφt为竖向位移和扭转位移的相位差。当竖弯运动超前扭转运动（Δφt＞ 0）时，椭圆轨迹为顺时针旋转；
反之，当竖弯运动滞后扭转运动（Δφt＜ 0）时，椭圆轨迹为逆时针旋转。这样，从图4 可以看到，上述工况的非线性耦合颤振的竖弯运动迟滞后扭转位移一个较小的相位差。
图4 非线性颤振时位移相图（α0=-5°,U∗=7.33）Fig.4 Phase diagram of the nonlinear flutter(α0=-5°,U∗=7.33)
图5 是α0=-5°、U*=7.33 折减风速时不同初始激励条件下的扭转位移，图6 是对应的扭转角速度和扭转角位移之间的相图。该相图是系统运动轨迹的几何表达，通过该相图可以判断系统的稳定性、渐近稳定性等，而竖弯位移和扭转位移的相图则表明两个自由度运动之间的关系（图4）。从图6 中可以看到，无初始激励下增长到稳态过程（grow to stableoscillation,GTS）和大初始激励下衰减到稳态过程（decay to stable-oscillation,DTS ），最终都做极限环振动并具有相同幅值。
图5 非线性颤振时的扭转位移（α0=-5°,U∗=7.33）Fig.5 Torsional displacement of the nonlinear flutter(α0=-5°,U∗=7.33)
图6 非线性颤振时的扭转相图（α0=-5°,U∗=7.33）Fig.6 Torsional phase diagram of the nonlinear flutter(α0=-5°,U∗=7.33)
图7 显示了不同风攻角下非线性耦合颤振最终极限环振动的扭转和竖向稳定幅值随折减风速的变化规律。随风速的增加，竖向和扭转位移的稳态振幅同时随之增加，而且增速总的来说略超线性，同时竖弯振幅增长速率的超线性更明显一些，说明随着折减风速的增加，弯扭耦合程度也会略有增加（详细讨论见后）。
图7 稳态振幅随折减风速的变化Fig.7 Steady-state amplitudes variation with the reduced wind speed
此外，当风攻角较小时，中央开槽断面拥有良好的颤振性能，其颤振临界风速比较高。但是随着负攻角的增大，桥梁断面越来越钝，非线性颤振的起振风速不断降低。
图8 展示了非线性颤振在稳态振动时的频率f随折减风速的变化规律，不同于涡激共振时频率在锁定风速范围内基本不变的特点，非线性颤振的稳态振动频率随着风速增加而减小，这是因为相对于较低的涡激共振锁定风速，颤振的发生风速较高，气动负刚度效应较明显。此外，相对于折减风速对颤振频率的影响程度，初始风攻角对颤振频率的影响较小。
图8 稳态频率随折减风速的变化Fig.8 Steady-state frequency variation with the reduced wind speed
2.2 有振动分叉的非线性颤振
对于本文所研究的中央开槽断面，在-3°和-4°这样较小负攻角时，均出现弯扭耦合的分叉振动现象。以风攻角α0=-4°为例，通过分析U*=8.75（分叉振动区间前）、U*=9.04（分叉振动初期）、U*=9.53（分叉振动末期）和U*=9.80 时（分叉振动区间后）四个不同阶段的振动特征来说明试验中观测到的有振动分叉现象时的颤振特点。
图9 和图10 分别是U*=8.75 时模型系统在大初始激励下的振动位移时程和扭转角速度-扭转角相图。从图中可见：此时即使在8°左右的大初始激励下，模型系统仍然做衰减至静态平衡位置的自由衰减振动（decay to zero,DTZ）。此时，既没有出现振动分叉现象，也没有发生颤振，但是在整个DTZ 振动过程中，振动的衰减速率经历了由快到慢再到快的变化过程，系统和气动阻尼呈现显著的非线性；
尤其是在中期，扭转位移时程存在一段非常缓慢衰减的区间（对应相图中相应幅值处的圆环密度显著提高），表明系统阻尼接近0。这个现象的内在原因将在后面的第3 节中讨论。
图9 分叉振动前的扭转位移（α0=-4°,U∗=8.75）Fig.9 Torsional displacement before the bifurcation vibration(α0=-4°,U∗=8.75)
图10 分叉振动前的扭转相图 (α0=-4°,U∗=8.75)Fig.10 Torsional phase diagram before the bifurcation vibration(α0=-4°,U∗=8.75)
稍微提高折减风速至U*=9.04 后，节段模型系统就出现了带有振动分叉现象的非线性颤振。图11 和图12 显示在U*=9.04 时（分叉振动的初期）的扭转位移时程曲线和扭转角速度-扭转角相图。从图中可见，存在一个约4°的起振振幅和约6°的稳态振幅，当初始激励振幅小于起振振幅时，振动将呈现衰减形态，并最终衰减至振幅为0 的静态平衡位置；
当初始激励振幅大于起振振幅并小于稳态振幅时，振动将逐渐发展、并最终收敛于振幅为该稳态振幅的动态平衡位置，即稳定的极限环振动状态；
当初始激励振幅大于该稳态振幅，振动有会呈现出衰减趋势，并最终衰减至振幅为该稳态振幅的动态平衡位置，即稳定极限环振动。
图11 分叉振动初期的扭转位移（α0=-4°,U∗=9.04）Fig.11 Torsional displacement at the initial stage of the bifurcation vibration (α0=-4°,U∗=9.04)
图12 分叉振动初期的扭转相图（α0=-4°,U∗=9.04）Fig.12 Torsional phase diagram at the initial stage of the bifurcation vibration (α0=-4°,U∗=9.04)
从时程曲线图和相图还中可以看出：分叉振动存在三个平衡状态，即，一个静力平衡状态（零位移点）、一个不稳定动力平衡状态（振动的分叉点）和一个稳定动力平衡状态（稳定极限环振动状态）。当初始位置落在蓝色区域内（静力平衡点和不稳定极限环之间），结构振动幅值会逐渐衰减到0；
当初始位置落在洋红色环状区域内（稳定极限环和不稳定极限环之间）时，结构振动会发展至稳定的极限环振动状态；
当初始位置落在外围的深青色区域内（稳定极限环外），结构振动会衰减至稳定极限环振动状态。
继续提高折减风速至U*=9.53，节段模型系统仍会出现类似的带有振动分叉的非线性颤振。图13 和图14 是U*=9.53 时扭转位移时程图和扭转角速度-扭转角相图。在该折减风速下，分叉振动仍然存在前述三个平衡状态，但与U*=9.04 时的分叉振动初期相比，随着折减风速的增加，起振幅值降低到1.2°左右，而稳态幅值上升到7.3°左右，在相图上表现为蓝色衰减区域面积减小，洋红色发散区域面积增加。因为结构的稳态振幅已经很大，受试验装置的限制，没有给予更大的初始激励。
图13 分叉振动末期的扭转位移（α0=-4°,U∗=9.53）Fig.13 Torsional displacement at the final stage of the bifurcation vibration (α0=-4°,U∗=9.53)
图14 分叉振动末期的扭转相图（α0=-4°,U∗=9.53）Fig.14 Torsional phase diagram at the final stage of the bifurcation vibration (α0=-4°,U∗=9.53)
当再继续稍微增加折减风速至U*=9.80 时，分叉振动现象消失，说明上一步U*=9.53 已处于出现分叉振动现象的后期。如图15 和图16 所示，当U*=9.80 时，节段模型系统的起振振幅等于0，蓝色衰减区域退化成点，即结构不需要任何人工初始激励就能够自动从静力平衡位置发散，并最终稳定于振幅更大的极限环振动。自此，随着折减风速的增加，节段模型均能从静力平衡位置自动起振并达到稳定的极限环振动状态。
图15 分叉振动区间后的扭转位移（α0=-4°,U∗=9.80）Fig.15 Torsional displacement after the bifurcation vibration(α0=-4°,U∗=9.80)
图16 分叉振动区间后的扭转相图（α0=-4°,U∗=9.80）Fig.16 Torsional phase diagram after the bifurcation vibration(α0=-4°,U∗=9.80)
在分叉振动风速区间，非线性颤振存在稳定和不稳定两个极限环，但是不稳定极限环对应的起振振幅难以通过试验精确获取。在本次试验中，为了获得较准确的起振振幅，在每个风速下都进行了多次激励，并不断调整初始激励的大小以接近起振振幅，最终取DTZ 时程的最大扭转振幅和GTS 时程的最小扭转振幅的均值作为起振振幅。从图17 还可以看到，颤振起振振幅随着风速增加而减小；
在分叉振动初期，稳态振幅和起振振幅非常接近，当起振振幅减小到0 时，分叉振动现象消失，结构的自限幅弯扭耦合非线性颤振能够从静力平衡位置自动起振。
图17 非线性自限幅颤振起振振幅和稳态振幅随折减风速变化Fig.17 Steady-state amplitude and onset amplitude variations with the reduced wind speed in the nonlinear self-limiting flutter
2.3 振动形态
对于弯扭耦合颤振，在每个时刻可看成是偏心的单自由度扭转运动，偏心率e分别由振动频率及相位所控制。当运动方程如下时：
偏心率e如下式所示：
这里，ωt为圆频率，b为半桥宽。当相位差 Δφt=0时,e=Aht/(Aαtb) 。当 Δφt≠0 时，e∈[-∞,+∞]，并随时间而变化，但如下式定义的偏心率均值仍为定值：
在断面上游侧离中心距离为处，振动幅度最小，其运动方程为如式（4）：
虽然此点不是固定不动的扭转中心，但是非线性颤振时相位差一般不大，因此该点的振动幅值特别小，在试验过程中通过肉眼也可以观察到。随着风速的增加，该点会向上游移动。
此外，从公式（2）可以看出，偏心率e与竖向位移、弯扭位移的幅值比值Aht/(Aαtb)成正比，因此大偏心率意味着弯扭耦合程度高。
图18 展示了不同风攻角下耦合颤振的偏心率均值随折减风速的变化规律。由此可见，不同风攻角下偏心率均值均随折减风速增加而近似线性地增加。此外，从图中还可以看到：当折减风速相同时，较大负攻角下的偏心率均值略高于较小负攻角下的偏心率均值，表明较大负攻角下的颤振耦合程度略高于较小负攻角下的颤振耦合程度。
图18 非线性颤振的偏心率均值随折算风速变化Fig.18 Mean eccentricity ratio variation with the reduced wind speed in the nonlinear flutter
上述结论表面上看起来似乎与“随着风攻角增大，断面越来越钝，弯扭耦合程度越弱”这一传统的认识不相符，但实际上并不矛盾。原因在于：人们在讨论风攻角变化对颤振耦合程度影响规律时，也总是拿不同风攻角下颤振临界点的数据进行对比，而忽略了不同风攻角下临界风速不同这个重要因素。如果按传统方法仅对比不同风攻角下颤振临界点处的耦合程度，那么，从图19 可以看到与传统观点一致的结果，即：随着风攻角的增加，非线性颤振的临界点的风速随之降低，对应耦合颤振偏心率均值也相应越来越小，而且两者随风攻角的变化趋势非常相似，说明在颤振临界点处的耦合程度随风攻角绝对值增大而下降的主要原因在于对应的颤振起始风速（临界风速）随风攻角下降。
图19 非线性颤振起始风速和对应偏心率均值随风攻角变化Fig.19 Onset wind speed and corresponding mean eccentricity ratio variations with the wind attack angle in the nonlinear flutter
线性颤振理论的前提是小振幅的振动，当结构发散后，微幅振动的前提也随之消失。结构大振幅运动会带来结构阻尼和气动阻尼的非线性，系统的总阻尼为结构阻尼和气动阻尼共同决定。根据软颤振的位移时程和等效线性化的理论，可以将系统等效阻尼比表示为扭转振幅的函数[4]，并从系统等效阻尼比随振幅变化规律的角度来解释颤振非线性以及自限幅特性和分叉振动现象的机理。
3.1 系统等效阻尼比的识别方法
以α0=-5°，U*=7.33 为例说明系统阻尼比的识别方法。对于单自由度弱非线性系统，其形式如下：
利用平均法，可将其近似解写成如下形式
振幅导数与振幅的商a′/a表示系统的对数衰减率。线性系统，其对数衰减率为常数，系统做e 指数衰减（发散）运动。
对于非线性系统，按照等效线性理论可将对数衰减率表示为振幅的函数，如下：
对两边进行积分后得：
对上式变换后得到对数振幅的表达式如下：
由于特征紊流等影响，其振幅可能具有波动性，对阻尼识别具有干扰性。因此可以采用式（11）来拟合振幅，拟合结果如图20 所示。
图20 扭转振幅拟合结果(α0=-5°,U∗=7.33)Fig.20 Fitted result of the torsional amplitude(α0=-5°,U∗=7.33)
对拟合后的振幅取对数，可以获得其对数振幅。从图21 可以看出，随着振幅的增加，对数振幅的斜率由正变为0，表示系统阻尼比由负变为0。
图21 对数振幅拟合结果(α0=-5°,U∗=7.33)Fig.21 Fitted result of the logarithmic amplitude(α0=-5°,U∗=7.33)
多次识别GTS 时程和DTS 时程的阻尼比曲线，可以拟合得到系统阻尼比随振幅变化关系（图22）。从中可以看到，GTS 和DTS 的阻尼比曲线具有很好的一致性，在稳态振幅处，系统的阻尼比为0。
图22 系统等效阻尼比拟合结果（α0=-5°,U∗=7.33 ）Fig.22 Fitted result of the system equivalent damping ratio(α0=-5,U∗=7.33)
3.2 无振动分叉的非线性颤振
图23 给出了攻角-5°时、无振动分叉的非线性颤振临界风速后的三个典型折减风速（U*=6.79，7.33，7.89）下的系统等效阻尼比随振幅的变化曲线。从图中可见系统等效阻尼比是扭转振幅的单增函数，系统等效阻尼比-振幅曲线有且只有一个零点。系统等效阻尼曲线的零点为系统的平衡点，在平衡点处，系统做极限环振荡。由于图23 中三条系统等效阻尼比—振幅曲线的斜率始终大于0，当振动向小振幅方向偏离时，负的系统等效阻尼比促使系统振动幅值重新增加，回到平衡点位置；
反之，当振动向大振幅方向偏离时，正的系统等效阻尼比将促使系统振动幅值重新降低，回到平衡点位置。因此，该零点对应的是结构稳定平衡点。
图23 系统等效阻尼比随扭转振幅变化曲线（α0=-5°）Fig.23 System equivalent damping ratio variation with the torsional amplitude (α0=-5°)
从图23 可见：在颤振初期，振幅较小，系统负等效阻尼比为绝对值较大，颤振幅值快速增加。随着振幅增加，系统等效阻尼比绝对值不断降低，幅值的增速逐渐变缓。当系统等效阻尼比最终达到0 时，颤振幅值不再发展，收敛于一个具有稳定振幅的极限环振动状态。上述发展过程对应于图5 中的GTS 过程。
当给予系统一个大于稳态振幅的初始激励幅值时，系统等效阻尼比为正（见图23），结构将做衰减振动。随着振幅的减小，系统等效阻尼比随之减小。当阻尼比降到0 时，系统振动收敛到一个具有稳定振幅的极限环振动。上述过程对应图5 中的DTS。
随着折减风速的增加，系统阻尼曲线整体朝负阻尼的方向下移，结构从发散到达稳态需要的时间也越来越短，而稳定动态平衡点也随着风速增加而右移，即非线性颤振的稳态振幅随折减风速的增加而增加。
3.3 有振动分叉的非线性颤振
图24为攻角-4°、折减风速U*=8.75、9.04、9.53、9.80 条件下的系统等效阻尼比随振幅的变化曲线。从图中可见，随着扭转振幅的增加，4 个折减风速对应的系统等效阻尼比都经历了先减小、再增加的演化过程。随着折减风速的增加，系统阻尼曲线整体朝负阻尼的方向下移，零阻尼比对应的平衡点的个数依次为0、2、2 和1，小振幅处的系统等效阻尼比从正转负，振动模式依次为发生颤振前的衰减振动、有振动分叉的非线性颤振和无振动分叉的非线性颤振。
图24 系统等效阻尼比随扭转振幅变化曲线（α0=-4°）Fig.24 System damping ratio variation with the torsional amplitude (α0=-4°)
当U*=8.75 时，试验风速稍小于颤振起始（临界）风速，系统阻尼比始终为正值，无论初始激励多大，结构都将做自由衰减运动。当振幅为5.3°左右时，系统阻尼比达到最小且接近0，因此在大的初始激励作用下，结构的衰减速率是先减小再增加，当振幅衰减到5.3°附近时，结构衰减非常缓慢（如图9所示）。
当U*=9.04、9.53 时，在分叉振动区间内，系统存在两个平衡点，并在平衡点处做极限环振动。在振幅较小的平衡点处，阻尼比曲线的斜率为负，该平衡点为不稳定平衡点。这是因为，当初始振幅朝小于起振振幅时，系统等效阻尼比为正，系统将进入衰减振动，直至到达静态平衡位置（对应图11 和图13 的DTZ）；
而当初始振幅大于起振振幅（但仍小于稳态振幅）时，系统等效阻尼比为负，系统先发散、再做收敛于稳定振幅的极限环振动（对应图11 和图13 的GTS）；
只有当初始振动正好等于起振振幅时（在试验中很难实现），系统将直接进入对应振幅的极限环振动状态。
在第二个平衡点处，阻尼比曲线的斜率为正，意味着此平衡点是一个稳定平衡点。这是因为，当初始振幅小于稳态振幅（但仍大于起振振幅）时，等效阻尼比将小于0，系统先发散、再做收敛于稳定振幅的极限环振动（对应图11 的GTS）；
而当初始振幅朝大于稳态振幅时，等效阻尼比将大于0，系统将先进入衰减振动状态。随着振幅的不断减小，系统正等效阻尼比逐渐减小至0，系统最终做极限环振动（对应图11的DTS）。
当U*=9.80 时，分叉振动区间后，系统等效阻尼比曲线只有一个曲线斜率为正的零点，对应稳定动态平衡点。在此之前，系统等效阻尼比均小于0。此时风速已经超过振动分叉区间上限，颤振的非线性特性与无振动分叉时相似。但是，在振动初期，两者的阻尼非线性特性还是有明显区别，前者的振幅发展速度也要快于后者。
从图24 还可以看到，随着风速增加，稳定平衡点右移，稳态振幅增加；
不稳定平衡点向做移动，振动分叉的临界激励幅值降低。
3.4 结构非线性的影响
大振幅下的弹簧悬挂系统存在结构非线性，其中阻尼非线性比较明显，其变化范围为0.15%～1%，而刚度非线性较弱。因此，此处仅讨论考虑阻尼非线性对试验结果的影响。系统的总阻尼为结构阻尼和气动阻尼共同决定，系统等效阻尼与结构阻尼之差即为气动阻尼。图25 和图26 分别为攻角-5°和-4°工况下气动阻尼比随振幅变化曲线。将气动阻尼曲线与图23 和图24 的总阻尼曲线对比来看，可知气动阻尼和总阻尼随振幅变化的趋势相同，但气动阻尼曲线相较于总阻尼曲线总体下移。
图25 气动阻尼比随扭转振幅变化（α0=-5°）Fig.25 Aerodynamic damping ratio variation with the torsional amplitude (α0=-5°)
图26 气动阻尼比随扭转振幅变化曲线（α0=-4°）Fig.26 Aerodynamic damping ratio variation with the torsional amplitude (α0=-4°)
对于无振动分叉的非线性颤振，气动阻尼曲线仍然只有一个零点。由于曲线下移，气动阻尼曲线零点相对总阻尼曲线的零点会右移，即不考虑结构阻尼非线性，系统的稳态振幅将会增大，而小振幅处的结构阻尼本身较小，因此阻尼非线性对起振风速影响较小。
对于含振动分叉的非线性颤振，从趋势上看，气动阻尼曲线仍然会有两个零点，而曲线下移将会使第一个零点左移、第二个零点右移，即起振振幅减小而稳态振幅增加，同时会降低分叉振动区间的起始风速。对于攻角-4°、折减风速为8.75 时的总阻尼曲线原本没有零点，而其气动阻尼曲线有两个零点，说明忽略结构阻尼分叉振动会提前发生，只是小振幅处的结构阻尼本身较小，因此忽略结构阻尼对分叉振动区间的结束风速影响较小。
本文通过节段模型风洞试验对其中央开槽箱梁断面在±10°大攻角范围内的颤振性能进行研究，分析了非线性颤振随等效风攻角（特别是负攻角）、折减风速等参数的变化，并基于系统阻尼比对颤振非线性特性和振动分叉现象的机理进行了分析阐述，主要结论如下：
1）该断面在负的小攻角（-3°和-4°）发生有振动分叉的非线性颤振，在负的大攻角（-5°～-10°）发生无需初始激励的无振动分叉非线性颤振，其余角度在试验风速范围发生线性颤振或者未发生颤振，颤振性能良好。
2）两种非线性颤振均为弯扭耦合颤振。起振风速随着风攻角的增加而减小，但在相同的折减风速下，大攻角下的弯扭耦合程度不低于小攻角下的弯扭耦合程度。在相同风攻角下，耦合程度、稳态振幅和分叉振动的起振振幅随折减风速的增加而分别增强、增加和减小。
3）系统阻尼比随扭转振幅的变化规律能很好地反映非线性颤振发生机理和演变规律。在较小风攻角下，系统在小振幅处存在不稳定平衡点，并在大振幅处存在稳定平衡点，从而产生振动分叉现象。
采用系统阻尼比解释颤振非线性特性和分叉振动现象仍属于唯象学的范畴，如何从物理机制层面解释线性和非线性气动阻尼的产生机理及其随风攻角和振幅的变化规律还有待进一步研究。
猜你喜欢风攻角阻尼比振幅风攻角对某大跨斜拉桥气动系数影响研究大科技(2022年20期)2022-05-25基于细观结构的原状黄土动弹性模量和阻尼比试验研究地震研究(2021年1期)2021-04-13不同风攻角下薄平板断面颤振机理研究振动工程学报(2020年4期)2020-08-13黏滞阻尼器在时程分析下的附加有效阻尼比研究振动与冲击(2019年4期)2019-02-22拉索间距及覆冰对双索尾流驰振的影响建筑科学与工程学报(2018年3期)2018-06-04波形分析法求解公路桥梁阻尼比的探讨上海公路(2018年3期)2018-03-21结构构件阻尼比对大跨度悬索桥地震响应的影响广州大学学报（自然科学版）(2016年2期)2017-01-15十大涨跌幅、换手、振幅、资金流向股市动态分析(2016年24期)2017-01-07十大涨跌幅、换手、振幅、资金流向股市动态分析(2016年23期)2016-12-27十大涨跌幅、换手、振幅、资金流向股市动态分析(2016年4期)2016-09-29
