不等式的探讨

时间:2022-03-20 09:43:55 公文范文 来源:网友投稿
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  摘 要:不等式是数学上的一种几何不等式,它可以通过变换条件等方式,来实现不等式的成立。而对于不等式的加强可以在立体几何中通过改变基本条件,来实现不等式的成立,证明中采用了面积法等方法,均值不等式等定理,实现了利用初等数学的证明方法证明定理,简化了证明。使不等式在三棱锥中适用,实现了在立体空间内的应用,在对不等式的不断探索中学习到许多前人对这个不等式的加强,并为我对不等式的探索打开了新的世界。
  关键词:不等式;面积法;均值不等式;三棱锥
  一、不等式的证明
  不等式是由数学家于1935年提出的,1937年,Louis Joel Mordell 和D.F. Barrow给出了这个不等式的证明,之后,后人又给出了许多更加简单的证明方法,而这个不等式是由和Louis JoelMordell这两位数学家的名字命名的。定理1。在一个三角形ABC的边上或内部有一点P,使P到三角形三边的距离为PD、PE、PF。则PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF)。Louis Joel Mordell给出的证明方法,用到了相似三角形、基本不等式等数学知识,充分体现了在数学几何证明中利用定理的方法,此方法不仅提高证明的正确性,而且在很大程度上简化了数学几何证明。证:过三角形中的一点P作一条直B"C",使B"交于直线AC上,C"交于直线AB上,使∠ABC等于∠AB"C"、∠ACB等于∠AC"B"。所以三角形ABC相似于三角形AB"C。所以相似三角形的相似比,且比值大于零。因为在三角形AB"C"中,三角形AB"P与三角形AC"P的面积相加等于三角形AB"C"的面积,所以AB"×PE+AC"×PF≤B"C"×AP(AP≥A到B"C"的距離)。由相似三角形同理可得AB×PE+AC×PF≤BC×AP,整理得AB×PE/BC+AC×PF/BC≤AP。① ;同理证得:AB×PD/AC+BC×PF/AC≤BP,②;AC×PD/AB+BC×PE/AB≤CP。③;将①②③式相加可得:PD(AB/AC+AC/AB)+PE(AB/BC+BC/AB)+PF(AC/BC+BC/AC)≤AP+BP+CP。因为由均值不等式可得 AB/AC+AC/AB≥2,AB/BC+BC/AB≥2,AC/BC+BC/AC≥2,所以 PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF)。证明方法的提出,便证明了Erdos-Mordell不等式,此不等式有多种证明方法,后人围绕着这个不等式进行探索又给出了许多简单的证明方法,如:利用代数来进行证明,利用外接圆及托勒密定理等。而上述例子中,利用代数证明是使几何证明转化为代数证明,简化了证明,且是证明更易进行;而利用外接圆及托勒密定理,则是使用构造圆来使托勒密定理成立,使用其他定理来证明不等式,更加直观有效,上述证明方法使我在对不等式的探索中更进一步,也使几何证明方法更具多样化。
  二、前人对不等式的加强
  在上述基本证明的基础上,将某些条件改变或增减,这个不等式仍旧成立或是不成立,前人经过探索与证明,对这个不等式进行了推广与加强,并对前人的推广加以介绍:命题2不等式中若将P到AB、BC、AC三边的距离,改为P与三个顶点的连线间夹角的角平分线,PA+PB+PC≥2(PG+PH+PI)成立。证:将不等式的基本条件中的这一点P到三条边到的距离,改为由P出发,P连接三个顶点A 、B、C内形成的三个夹角的角平分线,分别交AB于I、交AC于H、交BC于G,设为图1。引用任意一个三角形ABC,AD为∠A的角平分线,D在直线BC上,设为图2。设PA=x、PB=y、PC=z。
  由角平分线长公式得,图2中角平分线AD=[(2AB×AC)/(AB+AC) ]×cos(∠A/2),由以上式子得PG+PH+PI=[2yz/(y+z) ]×cos(∠BPC/2)+[2xz/(x+z)] ×cos(∠APC/2)+2xy /(x+y) ×cos(∠BPA/2)。令ab=x、bc=y、ac=z。由余弦定理得:xcosA+ycosB+zcosC≤xz/2y+yz/2x+xy/2z。由上式可得PG+PH+PI=[2yz/(y+z) ]×cos(∠BPC/2)+[2xz/(x+z)] ×cos(∠APC/2)+2xy /(x+y) ×cos(∠BPA/2)≤[x^2(y+z)]/(x+y)(x+z)+[y^2(z+x)]/(x+y)(y+z)+[z^2(x+y)]/(y+z)(z+x),再由公式得[x^2(y+z)]/(x+y)(x+z)+[y^2(z+x)]/(x+y)(y+z)+[z^2(x+y)]/(y+z)(z+x)={x+y+z-[xy(x-y)^2+yz(y-z)^2+zx(z-x)^2] /(x+y)(y+z)(z+x)}/2得PG+PH+PI=[2yz/(y+z)]×cos(∠BPC/2)+[2xz/(x+z)] ×cos(∠APC/2)+2xy /(x+y) ×cos(∠BPA/2)≤(x+y+z)/2,即 x+y+z≥2(PG+PH+PI),即PA+PB+PC≥2(PG+PH+PI)。所以将点P到三边的距离改为P与三个顶点的连线间夹角的角平分线,不等式成立。
  上述对不等式的加强,改变了使不等式成立的一个基本条件,说明对证明条件适当改变仍可以使不等式成立,且上述的证明过程中使用到了角平分线长公式、余弦定理等定理,也使用到了式子的套用及转化,方法巧妙,使我在数学几何证明方法中学习到了更多多样性的方法,同样使不等式有了更广阔的适用范围,更好地运用到实际问题中。
  三、不等式的实际应用
  在实际问题中,不等式也有多种多样的适用性,在以下题目中涉及到了不等式及其证明。命题3 如图3,设点P为三角形ABC内一点,作三角形ABC的外接圆圆O,且点P为三角形ABC的内心,作AP、BP、CP的延长线,分别交圆O于D、E、F,连接PD、PE、PF。则 PD+PE+PF≥PA+PB+PC.。证:因为点P为三角形ABC的内心,所以由三角形内角的性质可得 PD=DC,所以同理可得 PD=BD,所以若作三角形BPC的外接圆,D为外心,则同理可得 E为三角形APC的外心,F为三角形APB的外心。则分别以D、E、F为圆心,PD、PE、PF为半径,绕三角形PBC、三角形PCA、三角形APB画圆,分别设为圆1、圆2、圆3,三个圆交于一点P,线段PC为圆1和圆2的公共弦,线段PA为圆2和圆3的公共弦,线段PB为圆3和圆1的公共弦。所以 DE垂直平分PC,EF垂直平分PA,FD垂直平分PB。在三角形DEF中,由不等式得:PD+PE+PF≥PA+PB+PC。

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